1. Determine os valores máximos e mínimos para as dimensões do núcleo e da imagem de cada uma das T.L a seguir.
    (a) T: R^8 R^6,
    (b) T: R^5 R^5,
    (c) T: R^4 R^20.

Passo 1

O enunciado pede os valores extremos de dim(ker T) e dim(ImT) para transformações lineares T. O resultado fundamental é o Teorema da Dimensão (ou rank–nullity), que afirma:
dim(ker T) + dim(ImT) ;=;dim(domínio) í
Além disso vale sempre
0 ;<=;dim(ImT);<=;minl(dim(domínio),,dim(contradomínio)r) íí
e consequentemente
0 ;<=;dim(ker T);<=;dim(domínio) í

Passo 2

Para (a) T: R^8toR^6:
– O posto máximo é min(8,6)=6. O posto mínimo é 0.
– Logo dim(ImT) varia de 0 a 6.
– Pela rank–nullity,
dim(ker T)=8-dim(ImT),
então o menor valor de dim(ker T) é 8-6=2 e o maior é 8-0=8.

Passo 3

Para (b) T: R^5toR^5:
– O posto máximo é min(5,5)=5. O posto mínimo é 0.
– Logo dim(ImT) varia de 0 a 5.
– Pela rank–nullity, dim(ker T)=5-dim(ImT), assim vai de 5-5=0 até 5-0=5.

Passo 4

Para (c) T: R^4toR^20:
– O posto máximo é min(4,20)=4. O posto mínimo é 0.
– Logo dim(ImT) varia de 0 a 4.
– Pela rank–nullity, dim(ker T)=4-dim(ImT), então varia de 4-4=0 até 4-0=4.

Resposta

(a) dim(ImT)in[0,6],;;dim(ker T)in[2,8]
(b) dim(ImT)in[0,5],;;dim(ker T)in[0,5]
(c) dim(ImT)in[0,4],;;dim(ker T)in[0,4]

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