- Determine os valores máximos e mínimos para as dimensões do núcleo e da imagem de cada uma das T.L a seguir.
(a)
,
(b)
,
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede os valores extremos de
e
para transformações lineares
. O resultado fundamental é o Teorema da Dimensão (ou rank–nullity), que afirma:
Além disso vale sempre
e consequentemente
Passo 2
Para (a)
:
– O posto máximo é . O posto mínimo é
.
– Logo varia de
a
.
– Pela rank–nullity,
– O posto máximo é
– Logo
– Pela rank–nullity,
então o menor valor de
é
e o maior é
.
Passo 3
Para (b)
:
– O posto máximo é . O posto mínimo é
.
– Logo varia de
a
.
– Pela rank–nullity, , assim vai de
até
.
– O posto máximo é
– Logo
– Pela rank–nullity,
Passo 4
Para (c)
:
– O posto máximo é . O posto mínimo é
.
– Logo varia de
a
.
– Pela rank–nullity, , então varia de
até
.
– O posto máximo é
– Logo
– Pela rank–nullity,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)