Seja vee um espaço vetorial sobre R e considere os vetores u=(1, 0, - 1), v=(2, 1, 3) e w= (4,2,5). Determine se u, v, w é um conjunto linearmente independente, verificando a existência de uma relação de dependência entre eles.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3,
u=(1,0,-1), v=(2,1,3) e w=(4,2,5), e pede para verificar se o conjunto u,v,w é linearmente independente. Para isso, vamos usar a definição: eles são independentes se a única solução da combinação
a,u+b,v+c,w=0
for a=b=c=0.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada a equação
a,(1,0,-1)+b,(2,1,3)+c,(4,2,5)=(0,0,0)
tem o sistema equivalente
a + 2b + 4c = 0, a b +2c = 0, -,a +3b +5c = 0

Passo 3

Da segunda equação vem
b + 2c = 0 Longrightarrow b = -2c
Substituindo em a + 2b +4c=0 obtemos
a +2(-2c)+4c = a = 0
Agora, na terceira equação
-,a +3b +5c = 0 Longrightarrow -,0 +3(-2c)+5c = -6c+5c = -c = 0
logo c=0. Daí b=-2c=0 e a=0.

Passo 4

A única solução é a=b=c=0, ou seja, não existe combinação não-trivial que leve ao vetor nulo. Portanto os três vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto u,v,w é linearmente independente.

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