Seja um operador linear. Diremos que é um autovalor de e um autovetor de associado a se . Neste sentido, determine os autovalores e autovetores associados áos operadores lineares a seguir.
(a)
(b)
(c)
(d) , onde é uma matriz e é sua transposta.
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos encontrar para cada operador linear os autovalores e autovetores satisfazendo
e para isso vamos montar matrizes associadas nas bases canônicas (ou naturais), calcular o polinômio característico e depois achar as soluções e respectivos autovetores.
Passo 2
Para (a) escrevemos na base canônica com matriz
O polinômio característico é
logo
Para resolvemos
e obtemos . Escolhendo , um autovetor é .
Para segue e podemos tomar .
Passo 3
Para (b) temos com matriz
O polinômio característico é
det(A-lambda I)=-lambda^3-lambda^2+4lambda+4=0
ou, multiplicando por -1,
lambda^3+lambda^2-4lambda-4=0,
que fatoriza em
(lambda-2)(lambda+1)(lambda+2)=0
Assim
lambda=2,;-1,;-2
Para lambda=2 a equação (A-2I)v=0 dá vpropto(1,1,1).
Para lambda=-1 obtemos vpropto(2,-4,-1).
Para lambda=-2 obtemos vpropto(1,-3,1).
Passo 4
Para (c) em P2 usamos a base x^2,x,1. A ação de T em coeficientes (a,b,c) leva-os em (a,c,b), logo a matriz é
A=1&0&00&0&10&1&0
O polinômio característico é
det(A-lambda I)=(1-lambda)^2(lambda+1)=0,
então lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=-1.
Para lambda=1 impõe-se b=c, de onde os autovetores são a x^2+b(x+1), ou seja o espaço gerado por x^2,;x+1.
Para lambda=-1 impõe-se a=0 e c=-b, ficando b(x-1), espaço gerado por x-1.
Passo 5
Para (d) em M2times2 vale T(A)=A'. A condição
A'=lambda A
implica, ao transpor de novo, A=lambda A'Rightarrow A=lambda^2 A, logo lambda^2=1. Assim lambda=1 ou lambda=-1.
Para lambda=1 temos A'=A, ou seja as matrizes simétricas;
para lambda=-1 temos A'=-A, ou seja as matrizes antissimétricas.
Resposta
(a) Autovalores raiz2 com autovetor (raiz2,1) e -raiz2 com autovetor (-raiz2,1).
(b) Autovalores 2 com autovetor (1,1,1), -1 com (2,-4,-1) e -2 com (1,-3,1).
(c) Autovalor 1 com espaço gerado por x^2,;x+1, autovalor -1 com espaço gerado por x-1.
(d) Autovalor 1 com espaço das matrizes simétricas, autovalor -1 com espaço das matrizes antissimétricas.