1. Seja T: V V um operador linear. Diremos que lambda é um autovalor de T e v neq 0 um autovetor de T associado a lambda se T(v)=lambda cdot v. Neste sentido, determine os autovalores e autovetores associados áos operadores lineares a seguir.
    (a) T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 y, x
    (b) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z)
    (c) T: P2 P2, T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b
    (d) T: M2 times 2 M2 times 2, T(A)=A^prime, onde [A]2 times 2 é uma matriz e [A]2 times 2^prime é sua transposta.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos encontrar para cada operador linear T os autovalores lambda e autovetores vec vneqvec0 satisfazendo
T(vec v)=lambda,vec v
e para isso vamos montar matrizes associadas nas bases canônicas (ou naturais), calcular o polinômio característico det(A-lambda I)=0 e depois achar as soluções e respectivos autovetores.

Passo 2

Para (a) escrevemos na base canônica com matriz
O polinômio característico é
logo
Para resolvemos
e obtemos . Escolhendo , um autovetor é .
Para segue e podemos tomar .

Passo 3

Para (b) temos T(x,y,z)=(x+y,;x-y+2z,;2x+y-z) com matriz
A=1&1&01&-1&22&1&-1
O polinômio característico é
det(A-lambda I)=-lambda^3-lambda^2+4lambda+4=0
ou, multiplicando por -1,
lambda^3+lambda^2-4lambda-4=0,
que fatoriza em
(lambda-2)(lambda+1)(lambda+2)=0
Assim
lambda=2,;-1,;-2
Para lambda=2 a equação (A-2I)v=0 vpropto(1,1,1).
Para lambda=-1 obtemos vpropto(2,-4,-1).
Para lambda=-2 obtemos vpropto(1,-3,1).

Passo 4

Para (c) em P2 usamos a base x^2,x,1. A ação de T em coeficientes (a,b,c) leva-os em (a,c,b), logo a matriz é
A=1&0&00&0&10&1&0
O polinômio característico é
det(A-lambda I)=(1-lambda)^2(lambda+1)=0,
então lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=-1.
Para lambda=1 impõe-se b=c, de onde os autovetores são a x^2+b(x+1), ou seja o espaço gerado por x^2,;x+1.
Para lambda=-1 impõe-se a=0 e c=-b, ficando b(x-1), espaço gerado por x-1.

Passo 5

Para (d) em M2times2 vale T(A)=A'. A condição
A'=lambda A
implica, ao transpor de novo, A=lambda A'Rightarrow A=lambda^2 A, logo lambda^2=1. Assim lambda=1 ou lambda=-1.
Para lambda=1 temos A'=A, ou seja as matrizes simétricas;
para lambda=-1 temos A'=-A, ou seja as matrizes antissimétricas.

Resposta

(a) Autovalores raiz2 com autovetor (raiz2,1) e -raiz2 com autovetor (-raiz2,1).
(b) Autovalores 2 com autovetor (1,1,1), -1 com (2,-4,-1) e -2 com (1,-3,1).
(c) Autovalor 1 com espaço gerado por x^2,;x+1, autovalor -1 com espaço gerado por x-1.
(d) Autovalor 1 com espaço das matrizes simétricas, autovalor -1 com espaço das matrizes antissimétricas.

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