No espaço vetorial
, considere os vetores
e
. Determine se esses vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique sua resposta usando o conceito de combinação linear.
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores em
:
,
e
.
O conteúdo aqui é linearidade em espaços vetoriais: mais precisamente, saber se esses vetores são linearmente independentes ou não, usando o conceito de combinação linear.
O conteúdo aqui é linearidade em espaços vetoriais: mais precisamente, saber se esses vetores são linearmente independentes ou não, usando o conceito de combinação linear.
Passo 2
Lembrando a definição, vetores
são linearmente independentes se, na única solução do sistema
vierem
. Se existir alguma outra solução com
, então eles são linearmente dependentes.
Passo 3
Note que
Dessa forma podemos encontrar coeficientes não todos nulos que anulem a combinação. Por exemplo, tomando
temos
Isso mostra uma combinação linear não trivial igual a zero.
Passo 4
Como existe
tal que
concluímos que os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
Os vetores
são linearmente dependentes.