No espaço vetorial R^3, considere os vetores v1=(1, 2, 3), v2=(2, 4, 6) e v3=(3, 6, 9). Determine se esses vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique sua resposta usando o conceito de combinação linear.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
v1=(1,2,3), v2=(2,4,6) e v3=(3,6,9).
O conteúdo aqui é linearidade em espaços vetoriais: mais precisamente, saber se esses vetores são linearmente independentes ou não, usando o conceito de combinação linear.

Passo 2

Lembrando a definição, vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes se, na única solução do sistema
a,v1 + b,v2 + c,v3 = 0
vierem a=b=c=0. Se existir alguma outra solução com (a,b,c)neq(0,0,0), então eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Note que
v2 = 2,v1 e v3 = 3,v1
Dessa forma podemos encontrar coeficientes não todos nulos que anulem a combinação. Por exemplo, tomando
a=-3, b=0, c=1,
temos
-3,v1 + 0,v2 + 1,v3 = -3,(1,2,3) + (3,6,9) = (0,0,0)
Isso mostra uma combinação linear não trivial igual a zero.

Passo 4

Como existe (a,b,c)=(-3,0,1)neq(0,0,0) tal que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = 0,
concluímos que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores v1,v2,v3 são linearmente dependentes.

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