Determine os valores máximos e mínimos locais e os ponto(s) de sela da função.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os extremos locais de f(x,y)=4x2+y2−4x+2y; o conteúdo envolvido é otimização de funções de duas variáveis usando derivadas parciais e a matriz Hessiana.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais:
Igualando a zero, obtemos:
Logo, o único ponto crítico é .
Passo 3
Monte a matriz Hessiana e avalie sua definitude:
Os autovalores são 8 e 2, ambos positivos, ou seja, H é definida positiva.
Passo 4
Como a Hessiana é definida positiva em (tfrac12,-1), esse ponto é um mínimo local (na verdade global) da função. Não há máximos locais nem pontos de sela. O valor mínimo é: