Determine os valores máximos e mínimos locais e os ponto(s) de sela da função.
f(x, y)=4 x^2+y^2-4 x+2 y

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos locais de f(x,y)=4x2+y2−4x+2y; o conteúdo envolvido é otimização de funções de duas variáveis usando derivadas parciais e a matriz Hessiana.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais:
partial fpartial x=8x-4,partial fpartial y=2y+2
Igualando a zero, obtemos:
8x-4=0implies x=tfrac12, 2y+2=0implies y=-1
Logo, o único ponto crítico é (tfrac12,-1).

Passo 3

Monte a matriz Hessiana e avalie sua definitude:
H= partial^2fpartial x^2&partial^2fpartial xpartial y partial^2fpartial ypartial x&partial^2fpartial y^2 =8&00&2
Os autovalores são 8 e 2, ambos positivos, ou seja, H é definida positiva.

Passo 4

Como a Hessiana é definida positiva em (tfrac12,-1), esse ponto é um mínimo local (na verdade global) da função. Não há máximos locais nem pontos de sela. O valor mínimo é:
fl(tfrac12,-1r)=4l(tfrac12r)^2+(-1)^2-4cdottfrac12+2(-1)=-2

Resposta

A função não possui máximos locais nem pontos de sela. Possui um único mínimo local em (½, –1) com valor –2.

Exercícios relacionados