Verifique que div F=0 e determine todos os campos de vetores G, tais que rot G=F. F=6 y^2 i+6 z j+6 x k.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um campo de vetores F = 6 y^2 i + 6 z j + 6 x k. Precisamos verificar se a divergência desse campo é igual a zero. Além disso, devemos encontrar todos os campos de vetores G que satisfazem a equação rot G = F. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente os operadores divergente e rotacional.

Passo 2

Vamos começar calculando a divergência de F. A divergência de um campo de vetores F = P i + Q j + R k é dada por:
div F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
No nosso caso, P = 6y^2, Q = 6z e R = 6x.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
partial Ppartial x = partialpartial x(6y^2) = 0
partial Qpartial y = partialpartial y(6z) = 0
partial Rpartial z = partialpartial z(6x) = 0

Passo 4

Somando essas derivadas, temos:
div F = 0 + 0 + 0 = 0
Então, a divergência de F realmente é zero, conforme solicitado.

Passo 5

Agora, vamos encontrar todos os campos de vetores G que satisfazem rot G = F. O rotacional de um campo de vetores G = Gx i + Gy j + Gz k é dado por:
rot G = ( partial Gzpartial y - partial Gypartial z ) i + ( partial Gxpartial z - partial Gzpartial x ) j + ( partial Gypartial x - partial Gxpartial y ) k
Queremos que isso seja igual a F = 6 y^2 i + 6 z j + 6 x k.

Passo 6

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. partial Gzpartial y - partial Gypartial z = 6y^2
  2. partial Gxpartial z - partial Gzpartial x = 6z
  3. partial Gypartial x - partial Gxpartial y = 6x
Vamos resolver esse sistema para encontrar as componentes de G.

Passo 7

Vamos escolher uma das componentes para simplificar. Suponha que Gx = 0. Isso simplifica a terceira equação:
partial Gypartial x = 6x implies Gy = 3x^2 + h(y,z)
Aqui, h(y,z) é uma função arbitrária de y e z.

Passo 8

Agora, usando a primeira equação:
partial Gzpartial y - partial Gypartial z = 6y^2
Substituindo Gy = 3x^2 + h(y,z):
partial Gzpartial y - partial hpartial z = 6y^2
Vamos escolher h(y,z) para simplificar. Se h(y,z) = 0, então:
partial Gzpartial y = 6y^2 implies Gz = 2y^3 + g(x,z)
Aqui, g(x,z) é outra função arbitrária.

Passo 9

Agora, usando a segunda equação:
partial Gxpartial z - partial Gzpartial x = 6z
Como Gx = 0:
- partial Gzpartial x = 6z implies partial Gzpartial x = -6z
Mas, de onde encontramos que Gz = 2y^3 + g(x,z), então:
partialpartial x(2y^3 + g(x,z)) = partial gpartial x = -6z implies g(x,z) = -6zx + C(z)
Aqui, C(z) é uma função somente de z.

Passo 10

Então, temos:
Gz = 2y^3 -6zx + C(z)
Para manter a generalidade, podemos incluir C(z) como uma função arbitrária. No entanto, para simplificar, podemos assumir que C(z) = 0.
Então, temos:
Gy = 3x^2
Gz = 2y^3 -6zx
E como Gx = 0, nosso campo G fica:
G = 0 i + 3x^2 j + (2y^3 -6zx) k + C
Onde C representa um campo vetorial cujas componentes têm rotacional nulo (campo conservativo).

Resposta

Todos os campos de vetores G que satisfazem rot G = F são dados por:
G = 3x^2 j + (2 y^3 - 6 z x) k + nabla phi
onde phi é uma função escalar arbitrária.

Exercícios relacionados