Verifique que
e determine todos os campos de vetores
, tais que
.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um campo de vetores
. Precisamos verificar se a divergência desse campo é igual a zero. Além disso, devemos encontrar todos os campos de vetores
que satisfazem a equação
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente os operadores divergente e rotacional.
Passo 2
Vamos começar calculando a divergência de
. A divergência de um campo de vetores
é dada por:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 4
Somando essas derivadas, temos:
Então, a divergência de
realmente é zero, conforme solicitado.
Passo 5
Agora, vamos encontrar todos os campos de vetores
que satisfazem
. O rotacional de um campo de vetores
é dado por:
Queremos que isso seja igual a
.
Passo 6
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as componentes de
.
Passo 7
Vamos escolher uma das componentes para simplificar. Suponha que
. Isso simplifica a terceira equação:
Aqui,
é uma função arbitrária de
e
.
Passo 8
Agora, usando a primeira equação:
Substituindo
:
Vamos escolher
para simplificar. Se
, então:
Aqui,
é outra função arbitrária.
Passo 9
Agora, usando a segunda equação:
Como
:
Mas, de onde encontramos que
, então:
Aqui,
é uma função somente de
.
Passo 10
Então, temos:
Para manter a generalidade, podemos incluir
como uma função arbitrária. No entanto, para simplificar, podemos assumir que
.
Então, temos:
E como
, nosso campo
fica:
Onde
representa um campo vetorial cujas componentes têm rotacional nulo (campo conservativo).
Resposta
Todos os campos de vetores
que satisfazem
são dados por:
onde
é uma função escalar arbitrária.