Determine os valores máximos e mínimos locais e os ponto(s) de sela da função
f(x, y)=x^2+y^2+4 x-6 y
Escolha uma opção:
a. Mínimo f(-2,3)=-13
b. Ponto de sela f(-2,3)=-13
c. Mínimof (3,-2)=-13
d. Máximo f(3,-2)=-13
Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos locais e pontos de sela da função f(x,y)=x2+y2+4x−6y. Vamos usar derivadas parciais para encontrar o ponto crítico e depois a matriz Hessiana para classificar essa crítica.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=2x+4, partial fpartial y=2y-6
Igualando a zero, obtemos 2x+4=0 ⇒ x=−2 e 2y−6=0 ⇒ y=3, logo o ponto crítico é (−2,3).

Passo 3

A matriz Hessiana de f é
H=2 & 00 & 2,
que é definida positiva (ambos autovalores iguais a 2>0). Isso significa que (−2,3) é um ponto de mínimo local.

Passo 4

Calculamos o valor da função no ponto crítico:
f(-2,3)=(-2)^2+3^2+4(-2)-6(3)=4+9-8-18=-13
Não há máximos nem pontos de sela, apenas esse mínimo.

Passo 5

Portanto, a opção correta é a.

Resposta

a

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