Determine os valores máximo e mínimo absolutos
, no
conjunto
, que é a região triangular fechada com vértices
e
O valor máximo absoluto de f em D é igual a
O valor máximo absoluto de f em D ocorre em (-1,-2)
O valor mínimo absoluto de f em D é igual a
conjunto
O valor mínimo absoluto de f em D é igual a
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = x^{2} + 2xy + 3y^{2} $, e queremos encontrar os valores máximo e mínimo que essa função atinge dentro de uma região triangular fechada chamada $ D $. Os vértices desse triângulo estão nos pontos
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de extremos de funções de duas variáveis e analisar os pontos dentro da região e nas suas bordas.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar os pontos críticos da função dentro do triângulo $ D $. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ se igualam a zero. Vamos calcular essas derivadas:
Agora, igualamos ambas a zero para encontrar os pontos críticos:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Substituindo $ y = 0 $ na equação (1):
Então, temos um ponto crítico em $ (0, 0) $. Mas precisamos verificar se esse ponto está dentro da região $ D $.
Passo 3
Vamos verificar se o ponto $ (0, 0) $ está dentro do triângulo $ D $. Olhando para os vértices
,
e
, vemos que $ x $ varia de
a
e $ y $ varia de
a
. O ponto $ (0, 0) $ está dentro desses intervalos, então ele está dentro do triângulo.
Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Então, temos um valor candidato para o mínimo absoluto:
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar os valores da função nas bordas do triângulo. As bordas são as retas que unem os vértices:
- Borda de
a : Aqui, $ y = 1 $. - Borda de
a : Precisamos achar a equação dessa reta. - Borda de
a : Aqui, $ x = -1 $.
Vamos tratar cada uma dessas bordas separadamente.
1. Borda onde $ y = 1 $:
Substituindo $ y = 1 $ na função:
Essa é uma função quadrática em $ x $. Para encontrar os extremos, verificamos o vértice da parábola. O valor de $ x $ no vértice é:
Então, o ponto crítico nessa borda é $ (-1,1) $. Calculando $ f(-1,1) $:
Também avaliamos nos extremos da borda, que são $ x = -1 $ e $ x = 2 $:
2. Borda de
a
:
Primeiro, encontramos a equação dessa reta. A inclinação $ m $ é:
Então, a equação é $ y - 1 = 1(x - 2) $, ou seja:
Substituindo $ y = x - 1 $ na função:
Essa é outra função quadrática. O vértice ocorre em:
Então, o ponto crítico é $ \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3} -1\right) = \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) $. Vamos calcular $ f\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) $:
Também avaliamos nos extremos da borda, que são $ x = 2 $ e $ x = -1 $:
3. Borda onde $ x = -1 $:
Aqui, $ x = -1 $. Substituindo na função:
Essa é mais uma função quadrática, agora em $ y $. O vértice ocorre em:
Então, o ponto crítico nessa borda é $ \left(-1, \frac{1}{3}\right) $. Calculando $ f\left(-1, \frac{1}{3}\right) $:
Também avaliamos nos extremos da borda, que são $ y = 1 $ e $ y = -2 $:
Resposta
O valor máximo absoluto de $ f $ em $ D $ é igual a $ 17 $ e ocorre no ponto
. O valor mínimo absoluto de $ f $ em $ D $ é igual a $ 0 $, atingido no ponto
.