Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f(x, y)=x^2+2 x y+3 y^2, no
conjunto D, que é a região triangular fechada com vértices (-1,1),(2,1) e
(-1,-2)
O valor máximo absoluto de f em D é igual a
17
O valor máximo absoluto de f em D ocorre em (-1,-2)
O valor mínimo absoluto de f em D é igual a
0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = x^{2} + 2xy + 3y^{2} $, e queremos encontrar os valores máximo e mínimo que essa função atinge dentro de uma região triangular fechada chamada $ D $. Os vértices desse triângulo estão nos pontos f(x, y) = x^2 + 2xy + 3y^2 , D e (-1,1). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de extremos de funções de duas variáveis e analisar os pontos dentro da região e nas suas bordas.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar os pontos críticos da função dentro do triângulo $ D $. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ se igualam a zero. Vamos calcular essas derivadas:
D
x
Agora, igualamos ambas a zero para encontrar os pontos críticos:
y
fx = partial fpartial x = 2x + 2y
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
fy = partial fpartial y = 2x + 6y
Substituindo $ y = 0 $ na equação (1):
2x + 2y = 0 (1)
Então, temos um ponto crítico em $ (0, 0) $. Mas precisamos verificar se esse ponto está dentro da região $ D $.

Passo 3

Vamos verificar se o ponto $ (0, 0) $ está dentro do triângulo $ D $. Olhando para os vértices (0, 0) , D e (-1,1), vemos que $ x $ varia de (2,1) a (-1,-2) e $ y $ varia de x a -1. O ponto $ (0, 0) $ está dentro desses intervalos, então ele está dentro do triângulo.
Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto:
2
Então, temos um valor candidato para o mínimo absoluto: y .

Passo 4

Agora, precisamos verificar os valores da função nas bordas do triângulo. As bordas são as retas que unem os vértices:
  1. Borda de (-1,1) a (2,1): Aqui, $ y = 1 $.
  2. Borda de y = 1 a (2,1): Precisamos achar a equação dessa reta.
  3. Borda de (-1,-2) a (-1,-2): Aqui, $ x = -1 $.
Vamos tratar cada uma dessas bordas separadamente.
1. Borda onde $ y = 1 $:
Substituindo $ y = 1 $ na função:
(-1,1)
Essa é uma função quadrática em $ x $. Para encontrar os extremos, verificamos o vértice da parábola. O valor de $ x $ no vértice é:
x = -1
Então, o ponto crítico nessa borda é $ (-1,1) $. Calculando $ f(-1,1) $:
y = 1
Também avaliamos nos extremos da borda, que são $ x = -1 $ e $ x = 2 $:
y = 1
2. Borda de f(x, 1) = x^2 + 2x(1) + 3(1)^2 = x^2 + 2x + 3 a x :
Primeiro, encontramos a equação dessa reta. A inclinação $ m $ é:
x
Então, a equação é $ y - 1 = 1(x - 2) $, ou seja:
x = -b2a = -22 cdot 1 = -1
Substituindo $ y = x - 1 $ na função:
(-1,1)
Essa é outra função quadrática. O vértice ocorre em:
f(-1,1)
Então, o ponto crítico é $ \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3} -1\right) = \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) $. Vamos calcular $ f\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) $:
f(-1,1) = (-1)^2 + 2(-1)(1) + 3(1)^2 = 1 - 2 + 3 = 2
Também avaliamos nos extremos da borda, que são $ x = 2 $ e $ x = -1 $:
x = -1
3. Borda onde $ x = -1 $:
Aqui, $ x = -1 $. Substituindo na função:
x = 2
Essa é mais uma função quadrática, agora em $ y $. O vértice ocorre em:
f(-1,1) = 2 e f(2,1) = 2^2 + 2 cdot 2 cdot 1 + 3 cdot 1^2 = 4 + 4 + 3 = 11
Então, o ponto crítico nessa borda é $ \left(-1, \frac{1}{3}\right) $. Calculando $ f\left(-1, \frac{1}{3}\right) $:
(2,1)
Também avaliamos nos extremos da borda, que são $ y = 1 $ e $ y = -2 $:
(-1,-2)

Resposta

O valor máximo absoluto de $ f $ em $ D $ é igual a $ 17 $ e ocorre no ponto f . O valor mínimo absoluto de $ f $ em $ D $ é igual a $ 0 $, atingido no ponto D .

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