Determine os valores máximos e mínimos locais e os ponto(s) de sela da função
f(x, y)=y raizx-y^2-x+6 y
Ponto de sela f(4,4)=12

Passo 1

A função é f(x,y)=yraizx-y^2-x+6y. O objetivo é encontrar pontos críticos (onde as derivadas parciais são zero) e classificar cada ponto como máximo, mínimo ou sela usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais: inline temos
fx=y2raizx-1, fy=raizx-2y+6

Passo 3

Resolva o sistema fx=0 e fy=0. De fx=0 vem y=2raizx. De fy=0 vem y=(raizx+6)/2. Igualando essas expressões obtemos 4raizx=raizx+6, logo raizx=2 e portanto x=4, y=4. O único ponto crítico é (4,4).

Passo 4

Para classificar, calcule as segundas derivadas:
fxx=-y4x^3/2, fyy=-2, fxy=12raizx
No ponto (4,4) temos fxx=-1/8, fyy=-2, fxy=1/4. O determinante da Hessiana é D=fxxfyy-(fxy)^2=3/16>0 e fxx<0, indicando máximo local.

Passo 5

Avalie o valor em (4,4):
f(4,4)=4cdot2-4^2-4+6cdot4=8-16-4+24=12 Não surgem outros pontos críticos, nem se identifica mínimo local ou ponto de sela.

Resposta

Máximo local em (4,4) com f(4,4)=12; não existem mínimos locais nem pontos de sela.

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