Determine os valores máximos e mínimos locais e os ponto(s) de sela da função
f(x, y)=y raizx-y^2-x+6 y
Máximo f(4,0)=12

Passo 1

Temos a função f(x,y)=y√x−y^2−x+6y. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar os pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e resolvemos ∇f=0. Primeiro,
fx=y2raizx-1=0, fy=raizx-2y+6=0

Passo 3

Da primeira equação vem y=2√x. Substituindo na segunda:
raizx-2(2raizx)+6=0impliesraizx-4raizx+6=0implies-3raizx+6=0impliesraizx=2implies x=4

Passo 4

Então y=2·2=4. Logo o único ponto crítico interior é (4,4).

Passo 5

Agora montamos a Hessiana:
fxx=-y4x^3/2, fyy=-2, fxy=12raizx

Passo 6

Em (4,4) temos
fxx=-44·8=-18, fyy=-2, fxy=12·2=14

Passo 7

O determinante é
D=fxxfyy-(fxy)^2=l(-tfrac18r)(-2)-l(tfrac14r)^2=tfrac14-tfrac116=tfrac316>0

Passo 8

Como D>0 e f_{xx}<0, (4,4) é um máximo local, com f(4,4)=4·2−16−4+24=12. Não surge nenhum mínimo nem ponto de sela.

Resposta

Máximo local em (4,4) com f(4,4)=12. Não há mínimos locais nem pontos de sela.

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