Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de
sujeita à restrição dada.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar os valores máximo e mínimo da função $ f(x, y, z) = xyz $ sujeita à restrição $ x^2 + y^2 + z^2 = 3 $. Para isso, vamos usar uma ferramenta poderosa da matemática chamada Multiplicadores de Lagrange. Basicamente, ela nos ajuda a otimizar uma função (aqui, queremos maximizar ou minimizar $ f $) quando temos uma condição extra que deve ser sempre verdadeira (neste caso, $ x^2 + y^2 + z^2 = 3 $).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses Multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, para encontrar os pontos onde $ f $ atinge seus extremos sob a restrição dada, precisamos que o gradiente de $ f $ seja paralelo ao gradiente da restrição. Em termos matemáticos, isso significa que:
Onde $ g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 3 $ é a nossa restrição, e $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange que vamos descobrir.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes de $ f $ e $ g $:
Primeiro, o gradiente de $ f $:
Agora, o gradiente de $ g $:
Passo 4
De acordo com a condição dos Multiplicadores de Lagrange, temos que:
E também a restrição:
Então, agora temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas: $ x, y, z $ e $ \lambda $.
Passo 5
Vamos tentar relacionar essas equações para encontrar os valores de $ x, y, z $. Vamos começar dividindo a primeira equação pela segunda:
De forma similar, dividindo a segunda pela terceira:
Então, temos que $ x = \pm y $ e $ y = \pm z $. Isso nos leva a duas possibilidades principais: todos os sinais são iguais ou alguns são opostos. Vamos supor que $ x = y = z $ ou $ x = y = -z $, etc.
Passo 6
Vamos considerar o caso $ x = y = z $. Substituindo na restrição:
Então, se $ x = y = z = 1 $, temos $ f(1,1,1) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $.
Se $ x = y = z = -1 $, então $ f(-1,-1,-1) = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1 $.
Passo 7
Agora, vamos considerar os casos onde dois valores têm sinal oposto. Por exemplo, $ x = y = 1 $ e $ z = -1 $. Então:
E se $ x = y = -1 $ e $ z = 1 $:
O mesmo ocorre com as combinações onde apenas um dos valores tem sinal oposto. Em todos esses casos, os valores de $ f $ serão $ 1 $ ou $ -1 $.
Resposta
Os valores máximo e mínimo de $ f(x, y, z) = xyz $ sujeitos à restrição $ x^2 + y^2 + z^2 = 3 $ são $ \mathbf{1} $ e $ \mathbf{-1} $, respectivamente.