Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de f sujeita à restrição dada.
f(x, y)=x y z, x^2+y^2+z^2=3

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar os valores máximo e mínimo da função $ f(x, y, z) = xyz $ sujeita à restrição $ x^2 + y^2 + z^2 = 3 $. Para isso, vamos usar uma ferramenta poderosa da matemática chamada Multiplicadores de Lagrange. Basicamente, ela nos ajuda a otimizar uma função (aqui, queremos maximizar ou minimizar $ f $) quando temos uma condição extra que deve ser sempre verdadeira (neste caso, $ x^2 + y^2 + z^2 = 3 $).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses Multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, para encontrar os pontos onde $ f $ atinge seus extremos sob a restrição dada, precisamos que o gradiente de $ f $ seja paralelo ao gradiente da restrição. Em termos matemáticos, isso significa que:
f
Onde $ g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 3 $ é a nossa restrição, e $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange que vamos descobrir.

Passo 3

Vamos calcular os gradientes de $ f $ e $ g $:
Primeiro, o gradiente de $ f $:
f
Agora, o gradiente de $ g $:
g

Passo 4

De acordo com a condição dos Multiplicadores de Lagrange, temos que:
yz = lambda cdot 2x xz = lambda cdot 2y xy = lambda cdot 2z
E também a restrição:
x^2 + y^2 + z^2 = 3
Então, agora temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas: $ x, y, z $ e $ \lambda $.

Passo 5

Vamos tentar relacionar essas equações para encontrar os valores de $ x, y, z $. Vamos começar dividindo a primeira equação pela segunda:
x, y, z
De forma similar, dividindo a segunda pela terceira:
yzxz = 2lambda x2lambda y yx = xy y^2 = x^2 y = pm x
Então, temos que $ x = \pm y $ e $ y = \pm z $. Isso nos leva a duas possibilidades principais: todos os sinais são iguais ou alguns são opostos. Vamos supor que $ x = y = z $ ou $ x = y = -z $, etc.

Passo 6

Vamos considerar o caso $ x = y = z $. Substituindo na restrição:
x = y = z
Então, se $ x = y = z = 1 $, temos $ f(1,1,1) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $.
Se $ x = y = z = -1 $, então $ f(-1,-1,-1) = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1 $.

Passo 7

Agora, vamos considerar os casos onde dois valores têm sinal oposto. Por exemplo, $ x = y = 1 $ e $ z = -1 $. Então:
x = y = 1
E se $ x = y = -1 $ e $ z = 1 $:
z = -1
O mesmo ocorre com as combinações onde apenas um dos valores tem sinal oposto. Em todos esses casos, os valores de $ f $ serão $ 1 $ ou $ -1 $.

Resposta

Os valores máximo e mínimo de $ f(x, y, z) = xyz $ sujeitos à restrição $ x^2 + y^2 + z^2 = 3 $ são $ \mathbf{1} $ e $ \mathbf{-1} $, respectivamente.

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