Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função:
f(x, y)=e^x^2+y^2-4 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=e{x2+y^2-4x} e classificá-los em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. O conteúdo é aplicação de derivadas parciais, gradiente nulo e teste da matriz Hessiana.

Passo 2

Para achar os pontos críticos de f, observamos que f é expo( g(x,y) ) com g(x,y)=x2+y2-4x. Como a exponencial nunca zera, é equivalente achar ∇g=0. Calculamos as derivadas parciais de g:
gx=2x-4,
gy=2y
Igualando a zero, vem 2x-4=0 ⇒ x=2 e 2y=0 ⇒ y=0. Logo só há um ponto crítico em (2,0).

Passo 3

Para classificar esse ponto, montamos a matriz Hessiana de g:
gxx=2, gxy=0, gyy=2
O determinante da Hessiana é (2)(2)−0^2=4>0 e g_{xx}=2>0, então g tem mínimo local em (2,0). Como f=exp(g), f herda essa classificação: mínimo local. Não há pontos onde f tenha máximo local nem sela, pois g é estritamente convexo.

Passo 4

Opcionalmente notamos que g(x,y)=(x-2)2+y2−4, então g atinge valor mínimo −4 em (2,0), e tende a +∞ quando |(x,y)|→∞. Portanto f varia de e^{−4} até +∞, confirmando mínimo único e ausência de máximo ou sela.

Resposta

Mínimo local em (2,0) com valor f(2,0)=e^{−4}. Não há máximos locais nem pontos de sela.

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