Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela dessa função. Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora que encontramos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante
.
Primeiras segundas derivadas:
Passo 5
Calculamos o discriminante
usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, analisamos o valor de
:
- Se
e , temos um máximo local. - Se
e , temos um mínimo local. - Se
, temos um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
. Portanto, o ponto crítico
é um ponto de máximo local.
Resposta
A função
tem um ponto de máximo local no ponto
, com valor máximo igual a 10.