Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=10-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela dessa função. Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a fx = partial fpartial x = -2x e fy = partial fpartial y = -2y são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
-2x = 0 Rightarrow x = 0
-2y = 0 Rightarrow y = 0
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante fxx = partial^2 fpartial x^2 = -2 .
Primeiras segundas derivadas:
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0

Passo 5

Calculamos o discriminante D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 usando a fórmula:
D = (-2) cdot (-2) - (0)^2 = 4
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, analisamos o valor de :
  • Se e , temos um máximo local.
  • Se e , temos um mínimo local.
  • Se , temos um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e . Portanto, o ponto crítico é um ponto de máximo local.

Resposta

A função tem um ponto de máximo local no ponto , com valor máximo igual a 10.

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