Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=e^x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a fx = partial fpartial x = 2x e^x^2 + y^2 e fy = partial fpartial y = 2y e^x^2 + y^2 . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando alteramos uma variável enquanto a outra permanece constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver as equações:
fx = 0 e fy = 0
Resolvendo 2x e^x^2 + y^2 = 0 implies x = 0 :
2y e^x^2 + y^2 = 0 implies y = 0
Resolvendo :
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas segundas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2 e^x^2 + y^2 + 4x^2 e^x^2 + y^2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2 e^x^2 + y^2 + 4y^2 e^x^2 + y^2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 4xy e^x^2 + y^2
No ponto fxx(0,0) = 2 , essas derivadas simplificam para:
fyy(0,0) = 2
fxy(0,0) = 0
D = fxx fyy - (fxy)^2 = 2 times 2 - 0 = 4
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como e , isso indica que o ponto é um mínimo local.

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto . Não há pontos de sela nem máximos locais.

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