Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando alteramos uma variável enquanto a outra permanece constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver as equações:
Resolvendo
:
Resolvendo
:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas segundas:
No ponto
, essas derivadas simplificam para:
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como
e
, isso indica que o ponto
é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
. Não há pontos de sela nem máximos locais.