(3,0) Seja f(x, y)=2 x^4-8 x y+2 y^4. Encontre seus pontos críticos e classifique-os.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função e classificá-los. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = 8x^3 - 8y em relação a fy = partial fpartial y = -8x + 8y^3 e . As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde o gradiente da função é zero, ou seja, os pontos críticos.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
8x^3 - 8y = 0 -8x + 8y^3 = 0
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 8:
x^3 - y = 0 - x + y^3 = 0
Da primeira equação, temos - x + (x^3)^3 = -x + x^9 = 0 implies x^9 - x = 0 implies x(x^8 - 1) = 0 . Vamos substituir isso na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções:
  1. ou
Agora, vamos encontrar os valores de correspondentes:
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora, precisamos classificar esses pontos críticos para descobrir se são pontos de máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas de fxx = partial^2 fpartial x^2 = 24x^2 .
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 24y^2
fxy = fyx = partial^2 fpartial x partial y = -8
H = fxx & fxy fyx & fyy = 24x^2 & -8 -8 & 24y^2
A matriz Hessiana é:
D = fxxfyy - (fxy)^2 = (24x^2)(24y^2) - (-8)^2 = 576x^2y^2 - 64
Calculamos o determinante da Hessiana:
D = 576(0)^2(0)^2 - 64 = -64 < 0
Agora, avaliamos D = 576(1)^2(1)^2 - 64 = 576 - 64 = 512 > 0 e D = 576(-1)^2(-1)^2 - 64 = 576 - 64 = 512 > 0 em cada ponto crítico:
  1. No ponto (0, 0):
    Como , esse ponto é um ponto de sela.
  2. No ponto (1, 1):
    E , então o ponto é um mínimo local.
  3. No ponto (-1, -1):
    E , então também é um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : ponto de sela
  • : mínimo local
  • : mínimo local

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