(3,0) Seja
. Encontre seus pontos críticos e classifique-os.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde o gradiente da função é zero, ou seja, os pontos críticos.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 8:
Da primeira equação, temos
. Vamos substituir isso na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções:
-
-
ou
Agora, vamos encontrar os valores de
correspondentes:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, precisamos classificar esses pontos críticos para descobrir se são pontos de máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas de
.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é:
Calculamos o determinante da Hessiana:
Agora, avaliamos
e
em cada ponto crítico:
-
No ponto (0, 0):Como
, esse ponto é um ponto de sela. -
No ponto (1, 1):E
, então o ponto é um mínimo local. -
No ponto (-1, -1):E
, então também é um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: ponto de sela -
: mínimo local -
: mínimo local