Seja
, o volume do sólido no espaço
delimitado por
e
Indique como calcular
por integral simples e por integral dupla Calcule
por integral tripla.
Passo 1
Neste exercício vamos calcular o volume
do sólido definido por
,
e
. O conteúdo principal é cálculo de volume por integrais: método de seções transversais (integral simples), integral dupla de uma função de duas variáveis e integral tripla. Vamos precisar identificar os limites de
a partir de
e depois montar as integrais adequadas.
Passo 2
Para usar o método de integral simples (seções transversais perpendiculares ao eixo
), notamos que para cada
fixo o sólido é a região em
limitada por
e
. Primeiro achamos os limites de
resolvendo
, o que dá
. A área transversal
independe de
e vale
Logo
Passo 3
Para a integral dupla, usamos que o volume é
onde
. Em coordenadas retangulares, isso fica
Passo 4
Montagem da integral tripla: em um volume,
, e
varia de
até
. Assim
Passo 5
Cálculo da integral tripla: primeiro em
:
Fica
Em seguida em
:
Por fim em
:
Resposta
V =