Seja V, o volume do sólido no espaço X YZ delimitado por x=0, x=8, z=0 e z=8-2 y^2 Indique como calcular V por integral simples e por integral dupla Calcule V por integral tripla.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular o volume V do sólido definido por 0 <= x <= 8, z=0 e z=8-2y^2. O conteúdo principal é cálculo de volume por integrais: método de seções transversais (integral simples), integral dupla de uma função de duas variáveis e integral tripla. Vamos precisar identificar os limites de y a partir de z>=0 e depois montar as integrais adequadas.

Passo 2

Para usar o método de integral simples (seções transversais perpendiculares ao eixo x), notamos que para cada x fixo o sólido é a região em yz limitada por z=0 e z=8-2y^2. Primeiro achamos os limites de y resolvendo 8-2y^2>=0, o que dá yin[-2,2]. A área transversal A(x) independe de x e vale
A = integraly=-2^2 (8 - 2y^2),dy
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V = integralx=0^8 A,dx = integral0^8 l(integral-2^2 (8-2y^2),dyr),dx

Passo 3

Para a integral dupla, usamos que o volume é
V = integral duplaD (8 - 2y^2),dA,
onde D = [0,8]times[-2,2]. Em coordenadas retangulares, isso fica
V = integraly=-2^2 integralx=0^8 (8 - 2y^2),dx,dy

Passo 4

Montagem da integral tripla: em um volume, dV = dz,dy,dx, e z varia de 0 até 8-2y^2. Assim
V = integralx=0^8 integraly=-2^2 integralz=0^8-2y^2 dz,dy,dx

Passo 5

Cálculo da integral tripla: primeiro em z:
integralz=0^8-2y^2 dz = 8 - 2y^2
Fica
V = integralx=0^8 integraly=-2^2 (8 - 2y^2),dy,dx
Em seguida em y:
integral-2^2 (8 - 2y^2),dy = 8cdot4 - 2l[y^33r]-2^2 = 32 - 323 = 643
Por fim em x:
V = integral0^8 643,dx = 643cdot8 = 5123

Resposta

V = 5123

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