Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
.
Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e ao estudo de extrema de funções de várias variáveis, que são tópicos de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar os pontos críticos e analisar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, igualamos
e
a zero:
Para que uma fração seja igual a zero, o numerador deve ser zero. Portanto:
Da equação (2), temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.
Passo 4
Caso 1:
Substituindo
na equação (1):
Isso não tem solução real, então não há pontos críticos nesse caso.
Caso 2:
Substituindo
na equação (1):
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a natureza desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
Calculando
:
Isso envolve derivação de uma fração, que resulta em:
Simplificando, mas para fins de praticidade, vamos avaliar as segundas derivadas diretamente nos pontos críticos.
Passo 6
Vamos calcular os valores das segundas derivadas nos pontos
e
.
Devido à simetria da função, os cálculos serão iguais para ambos os pontos, então vamos considerar
.
Calculando
em
:
Simplificando:
Calculando
em
:
Calculando
em
:
Passo 7
Agora, aplicamos o teste da segunda derivada. Calculamos o discriminante
:
Em
:
Como
e
, isso indica que o ponto é um máximo local.
O mesmo ocorre para o ponto
, devido à simetria da função.
Resposta
A função
possui dois pontos de máximo local nos pontos
e
. Não há mínimos locais nem pontos de sela.