Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=xx^2+y^2+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função .
Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e ao estudo de extrema de funções de várias variáveis, que são tópicos de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar os pontos críticos e analisar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função fx = partial fpartial x = (1)(x^2 + y^2 + 4) - x(2x)(x^2 + y^2 + 4)^2 = x^2 + y^2 + 4 - 2x^2(x^2 + y^2 + 4)^2 = -x^2 + y^2 + 4(x^2 + y^2 + 4)^2 em relação a fy = partial fpartial y = 0 cdot (x^2 + y^2 + 4) - x(2y)(x^2 + y^2 + 4)^2 = -2xy(x^2 + y^2 + 4)^2 e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, igualamos fx = -x^2 + y^2 + 4(x^2 + y^2 + 4)^2 = 0 fy = -2xy(x^2 + y^2 + 4)^2 = 0 e - x^2 + y^2 + 4 = 0 (1) - 2xy = 0 (2) a zero:
Para que uma fração seja igual a zero, o numerador deve ser zero. Portanto:
Da equação (2), temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.

Passo 4

Caso 1: - 0^2 + y^2 + 4 = y^2 + 4 = 0
Substituindo y^2 = -4 na equação (1):
- x^2 + 0^2 + 4 = -x^2 + 4 = 0
x^2 = 4 x = pm 2
Isso não tem solução real, então não há pontos críticos nesse caso.
Caso 2:
Substituindo na equação (1):
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 5

Agora, vamos analisar a natureza desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 fyy = partial^2 fpartial y^2 fxy = partial^2 fpartial x partial y
Calculando fxx = partialpartial x ( -x^2 + y^2 + 4(x^2 + y^2 + 4)^2 ) :
fxx = -2x(x^2 + y^2 + 4)^2 - (-x^2 + y^2 + 4)(2)(x^2 + y^2 + 4)(2x)(x^2 + y^2 + 4)^4
Isso envolve derivação de uma fração, que resulta em:
Simplificando, mas para fins de praticidade, vamos avaliar as segundas derivadas diretamente nos pontos críticos.

Passo 6

Vamos calcular os valores das segundas derivadas nos pontos fxx(2,0) = -2(2)(2^2 + 0^2 + 4)^2 + 4(2^2 - 0^2 - 4)(2^2 + 0^2 + 4)^3 e fxx(2,0) = -4(4 + 0 + 4)^2 + 4(4 - 0 - 4)(4 + 0 + 4)^3 = -464 + 0512 = -116 .
Devido à simetria da função, os cálculos serão iguais para ambos os pontos, então vamos considerar fyy(2,0) = 2(2)(0)(2^2 + 0^2 + 4)^2 - 4(2^2)(2^2 + 0^2 + 4)^3 = 0 - 16512 = -132 .
Calculando fxy(2,0) = -2(0)(2^2 + 0^2 + 4)^2 = 0 em :
Simplificando:
Calculando em :
Calculando em :

Passo 7

Agora, aplicamos o teste da segunda derivada. Calculamos o discriminante D = fxx fyy - (fxy)^2 :
D = (-116) (-132) - (0)^2 = 1512
Em :
Como e , isso indica que o ponto é um máximo local.
O mesmo ocorre para o ponto , devido à simetria da função.

Resposta

A função possui dois pontos de máximo local nos pontos e . Não há mínimos locais nem pontos de sela.

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