Determine a família de primitivas para cada função: integral cos (pi x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar todas as primitivas da função cos(pi x). Isso faz parte do estudo do Cálculo Integral, especificamente das integrais indefinidas. Para resolver, vamos precisar lembrar das regras básicas de integração, especialmente como integrar funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma primitiva de uma função é basicamente uma função cuja derivada é a função original. Então, queremos encontrar uma função F(x) tal que F'(x) = cos(pi x).

Passo 3

Sabemos que a integral de cos(kx) em relação a x é dada por:
integral cos(kx) , dx = 1k sin(kx) + C
onde k é uma constante e C é a constante de integração, que representa todas as possíveis primitivas.

Passo 4

No nosso caso, a função dentro do cosseno é pi x, então temos k = pi. Vamos substituir k por pi na fórmula acima:
integral cos(pi x) , dx = 1pi sin(pi x) + C

Resposta

A família de primitivas para a função cos(pi x) é:
integral cos(pi x) , dx = 1pi sin(pi x) + C

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