Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função:
f(x, y)=e^x^2+y^2-4 x
R: f(2,0)=1 / e^4 mín. local

Passo 1

O problema dá a função de duas variáveis f(x,y)=e^x^2+y^2-4x e nos pede para encontrar máximos locais, mínimos locais e pontos de sela. Vamos usar derivadas parciais e a matriz Hessiana para isso.

Passo 2

Como a exponencial é monotonicamente crescente, é mais simples definir g(x,y)=x^2+y^2-4x e notar que os extremos de f coincidem com os de g.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de g:
gx=2x-4, gy=2y
Igualando a zero, temos o sistema
2x-4=0, 2y=0,
o que dá o ponto crítico (x,y)=(2,0).

Passo 4

Para classificar esse ponto, montamos a matriz Hessiana de g:
$$H_g= Hg=gxx&gxygyx&gyy=2&00&2 = 2>0.
$$
Como os autovalores são 2>0 e (2,0), a Hessiana é definida positiva, indicando que g é mínimo de f e, consequentemente, mínimo de .

Passo 5

Calculamos o valor de f nesse ponto:
$$f(2,0)=e{2{2}+0{2}-4\cdot2}=e{-4}=\frac1{e^{4}}.
$$
Não há outros pontos críticos, logo não existem máximos locais nem pontos de sela.

Resposta

Mínimo local em (2,0) com f(2,0)=1/e^{4}. Não existem máximos locais nem pontos de sela.

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