Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função:
mín. local
Passo 1
O problema dá a função de duas variáveis
e nos pede para encontrar máximos locais, mínimos locais e pontos de sela. Vamos usar derivadas parciais e a matriz Hessiana para isso.
Passo 2
Como a exponencial é monotonicamente crescente, é mais simples definir
e notar que os extremos de
coincidem com os de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Igualando a zero, temos o sistema
o que dá o ponto crítico
.
Passo 4
Para classificar esse ponto, montamos a matriz Hessiana de
:
$$H_g=
=
.
$$
Como os autovalores são e
, a Hessiana é definida positiva, indicando que
é mínimo de
e, consequentemente, mínimo de
.
Como os autovalores são
Passo 5
Calculamos o valor de
nesse ponto:
$$f(2,0)=e{2{2}+0{2}-4\cdot2}=e{-4}=\frac1{e^{4}}.
$$
Não há outros pontos críticos, logo não existem máximos locais nem pontos de sela.
Não há outros pontos críticos, logo não existem máximos locais nem pontos de sela.
Resposta
Mínimo local em (2,0) com f(2,0)=1/e^{4}. Não existem máximos locais nem pontos de sela.