Verifique que a série sumn=0^infty x^nn! converge em todo x in R.

Passo 1

Temos a série sumn=0^infty x^nn!. O conteúdo aqui é convergência de séries de potências e vamos usar o teste da razão para séries numéricas.

Passo 2

Definimos o termo geral como an=x^nn!. No teste da razão calculamos a razão |an+1an|. Calculando a razão obtemos:
|an+1an|=|x^n+1/(n+1)!x^n/n!|=|xn+1|

Passo 3

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|xn+1|=0

Passo 4

Pelo teste da razão, se o limite L<1 a série converge absolutamente. Aqui L=0<1, logo a série converge para todo x.

Resposta

A série converge absolutamente para todo xinR.

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