Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
f(x, y)=x^4+4 x y+2 y^2

Passo 1

Então, a gente tem que determinar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde analisamos funções de duas ou mais variáveis. Pra resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = 4x^3 + 4y em relação a fy = partial fpartial y = 4x + 4y e 4x^3 + 4y = 0 (1) e igualá-las a zero.
A derivada parcial de 4x + 4y = 0 (2) em relação a é:
Já a derivada parcial em relação a é:
Agora, igualamos as derivadas a zero:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2) para encontrar os pontos críticos. Primeiro, podemos simplificar a equação (2):
4x + 4y = 0 implies x + y = 0 implies y = -x
Agora, substituímos 4x^3 + 4(-x) = 0 implies 4x^3 - 4x = 0 implies 4x(x^2 - 1) = 0 na equação (1):
x = 0 ou x^2 - 1 = 0 implies x = pm 1
Isso nos dá:
(x, y) = (0, 0), (1, -1), (-1, 1)
Então, os pontos críticos são:

Passo 4

Agora, vamos classificar cada um desses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as derivadas de segunda ordem:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 12x^2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 4
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 4
Agora, calculamos o discriminante D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 para cada ponto crítico:
fxx = 12(0)^2 = 0
Vamos calcular D = 0 cdot 4 - 4^2 = -16 em cada ponto:
  1. Ponto (0, 0):
fxx = 12(1)^2 = 12
D = 12 cdot 4 - 4^2 = 48 - 16 = 32
Como fxx = 12(-1)^2 = 12 , o ponto (0, 0) é um ponto de sela.
  1. Ponto (1, -1):
D = 12 cdot 4 - 4^2 = 48 - 16 = 32
Como e , o ponto (1, -1) é um mínimo local.
  1. Ponto (-1, 1):
Assim, como e , o ponto (-1, 1) também é um mínimo local.

Resposta

A função tem um ponto de sela em , e mínimos locais nos pontos e .

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