Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
Passo 1
Então, a gente tem que determinar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde analisamos funções de duas ou mais variáveis. Pra resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Já a derivada parcial em relação a
é:
Agora, igualamos as derivadas a zero:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2) para encontrar os pontos críticos. Primeiro, podemos simplificar a equação (2):
Agora, substituímos
na equação (1):
Isso nos dá:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos classificar cada um desses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as derivadas de segunda ordem:
Agora, calculamos o discriminante
para cada ponto crítico:
Vamos calcular
em cada ponto:
- Ponto (0, 0):
Como
, o ponto (0, 0) é um ponto de sela.
- Ponto (1, -1):
Como
e
, o ponto (1, -1) é um mínimo local.
- Ponto (-1, 1):
Assim, como
e
, o ponto (-1, 1) também é um mínimo local.
Resposta
A função
tem um ponto de sela em
, e mínimos locais nos pontos
e
.