Monte a integral tripla, em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, para calcular o volume da esfera de raio
com centro na origem.
Passo 1
O enunciado pede para montar a integral tripla que calcula o volume da esfera de raio
centrada na origem, nas três principais famílias de coordenadas: cartesianas, cilíndricas e esféricas. Vamos usar integrais múltiplas e os respectivos fatores de Jacobiano para cada mudança de variável.
Passo 2
Na coordenada cartesiana, a esfera é dada por
. Para montar a integral, escolhemos a ordem de integração
(ou qualquer outra). Por exemplo, fixando primeiro
, depois
e por fim
:
Passo 3
Para coordenadas cilíndricas
, usamos
,
e
. O fator de Jacobiano vale
. A esfera vira
e
,
:
Passo 4
Em coordenadas esféricas
, temos
,
,
e o Jacobiano é
. A esfera corresponde a
,
,
:
Resposta
Coordenadas cartesianas:
Coordenadas cilíndricas:
Coordenadas esféricas: