Monte a integral tripla, em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, para calcular o volume da esfera de raio a com centro na origem.

Passo 1

O enunciado pede para montar a integral tripla que calcula o volume da esfera de raio a centrada na origem, nas três principais famílias de coordenadas: cartesianas, cilíndricas e esféricas. Vamos usar integrais múltiplas e os respectivos fatores de Jacobiano para cada mudança de variável.

Passo 2

Na coordenada cartesiana, a esfera é dada por x^2+y^2+z^2<= a^2. Para montar a integral, escolhemos a ordem de integração dx,dy,dz (ou qualquer outra). Por exemplo, fixando primeiro x, depois y e por fim z:
V=integralx=-a^aintegraly=-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2integralz=-raiza^2-x^2-y^2^raiza^2-x^2-y^21;dz,dy,dx

Passo 3

Para coordenadas cilíndricas (r,theta,z), usamos x=rcostheta, y=rsintheta e z=z. O fator de Jacobiano vale r. A esfera vira 0<= r<= a e -raiza^2-r^2<= z<=raiza^2-r^2, 0<=theta<=2pi:
V=integraltheta=0^2piintegralr=0^aintegralz=-raiza^2-r^2^raiza^2-r^2r;dz,dr,dtheta

Passo 4

Em coordenadas esféricas (rho,phi,theta), temos x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e o Jacobiano é rho^2sinphi. A esfera corresponde a 0<=rho<= a, 0<=phi<=pi, 0<=theta<=2pi:
V=integraltheta=0^2piintegralphi=0^piintegralrho=0^arho^2sinphi;drho,dphi,dtheta

Resposta

Coordenadas cartesianas:
integralx=-a^aintegraly=-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2integralz=-raiza^2-x^2-y^2^raiza^2-x^2-y^21,dz,dy,dx
Coordenadas cilíndricas:
integraltheta=0^2piintegralr=0^aintegralz=-raiza^2-r^2^raiza^2-r^2r,dz,dr,dtheta
Coordenadas esféricas:
integraltheta=0^2piintegralphi=0^piintegralrho=0^arho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Exercícios relacionados