Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função em cada item a seguir.
Passo 1
Temos a função
e queremos encontrar os pontos críticos (onde
) e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, usaremos derivadas parciais e análise do Hessiano ou, alternativamente, exploraremos a simetria radial da função.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais. Seja
. Então
e, analogamente,
Passo 3
Impondo
e
, temos
Como
, os fatores que anulam são
ou
, e
ou
. As soluções simultâneas são:
-
e , ou seja, o ponto . -
, ou seja, , formando a circunferência .
Passo 4
Precisamos agora classificar esses pontos.
- No ponto
:
O Hessiano valelogo a matriz Hessiana é , positiva definida. Concluímos que é um mínimo local com - Nos pontos da circunferência
:
Podemos usar a análise radial: definindo, temos que muda de sinal de positivo para negativo em . Isso indica que em todo ponto com a função tem máximo local (degenerado na direção tangencial). O valor ali é - Não há nenhuma outra solução de
, e não surgem pontos de sela isolados.
Resposta
Mínimo local em
com valor
.
Máximos locais ao longo da circunferência , com valor
.
Não existem pontos de sela.
Máximos locais ao longo da circunferência
Não existem pontos de sela.