Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função em cada item a seguir.
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{2-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

Temos a função
f(x,y)=(x^2+y^2)\,e^{2 - x^2 - y^2}
e queremos encontrar os pontos críticos (onde \nabla f=0) e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, usaremos derivadas parciais e análise do Hessiano ou, alternativamente, exploraremos a simetria radial da função.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais. Seja r^2 = x^2+y^2. Então
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(r^2 e^{2-r^2}\bigr) = 2x\,e^{2-r^2} + r^2\,e^{2-r^2}(-2x) = 2x\,e^{2-r^2}\bigl(1 - r^2\bigr),
e, analogamente,
f_y = 2y\,e^{2-r^2}\bigl(1 - r^2\bigr).

Passo 3

Impondo f_x=0 e f_y=0, temos
2x\,e^{2-r^2}(1-r^2)=0, \quad 2y\,e^{2-r^2}(1-r^2)=0.
Como e^{2-r^2}\neq0, os fatores que anulam são x=0 ou 1-r^2=0, e y=0 ou 1-r^2=0. As soluções simultâneas são:
  1. x=0 e y=0, ou seja, o ponto (0,0).
  2. 1-r^2=0, ou seja, r^2=1, formando a circunferência x^2+y^2=1.

Passo 4

Precisamos agora classificar esses pontos.
  • No ponto (0,0):
    O Hessiano vale f_{xx}(0,0)=2e^2,\quad f_{yy}(0,0)=2e^2,\quad f_{xy}(0,0)=0,logo a matriz Hessiana é 2e^2I, positiva definida. Concluímos que (0,0) é um mínimo local com f(0,0)=0.
  • Nos pontos da circunferência x^2+y^2=1:
    Podemos usar a análise radial: definindo g(r)=r^2e^{2-r^2}, temos g'(r)=2r\,e^{2-r^2}(1-r^2),que muda de sinal de positivo para negativo em r=1. Isso indica que em todo ponto com r=1 a função tem máximo local (degenerado na direção tangencial). O valor ali é f\bigl(x,y\bigr)=1\cdot e^{2-1}=e.
  • Não há nenhuma outra solução de \nabla f=0, e não surgem pontos de sela isolados.

Resposta

Mínimo local em (0,0) com valor f(0,0)=0.
Máximos locais ao longo da circunferência x^2+y^2=1, com valor f=e.
Não existem pontos de sela.

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