Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função em cada item a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e classificá-los em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
O que vamos precisar: calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, achar onde elas anulam (pontos críticos) e usar o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto.
O que vamos precisar: calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, achar onde elas anulam (pontos críticos) e usar o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Para facilitar, defina
de modo que
. Como
nunca anula, basta resolver
. Calculamos
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
Da segunda equação
, logo
. Na primeira,
força
(pois
). Assim os únicos pontos críticos são
Passo 4
Para classificar, montamos a Hessiana de
:
O determinante da Hessiana é
Em
temos
. Quando o determinante é negativo, o ponto é de sela.
Resposta
Não há máximos locais nem mínimos locais.
Pontos de sela: e
, ambos com
.
Pontos de sela: