Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função em cada item a seguir.
f(x, y)=e^{y\left(2-x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=e^{\,y\,(2 - x^{2})}
e classificá-los em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
O que vamos precisar: calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, achar onde elas anulam (pontos críticos) e usar o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Para facilitar, defina
u(x,y)=y\,(2 - x^{2}),
de modo que f(x,y)=e^{u(x,y)}. Como e^{u}>0 nunca anula, basta resolver \nabla u=0. Calculamos
u_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y(2 - x^{2})\bigr)=-2x\,y,
u_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y(2 - x^{2})\bigr)=2 - x^{2}.

Passo 3

Os pontos críticos vêm de
u_{x}=0\implies -2x\,y=0\quad\text{e}\quad u_{y}=0\implies 2 - x^{2}=0.
Da segunda equação \,x^{2}=2, logo x=\pm\sqrt{2}. Na primeira, -2x\,y=0 força y=0 (pois x\neq0). Assim os únicos pontos críticos são
\bigl(\sqrt{2},\,0\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(-\sqrt{2},\,0\bigr).

Passo 4

Para classificar, montamos a Hessiana de u:
u_{xx}=-2y,\quad u_{xy}=-2x,\quad u_{yy}=0.
O determinante da Hessiana é
D = u_{xx}\,u_{yy} - (u_{xy})^{2} = (-2y)\cdot 0 - (-2x)^{2} = -4x^{2}.
Em (\pm\sqrt{2},0) temos D = -4\cdot2 = -8 < 0. Quando o determinante é negativo, o ponto é de sela.

Resposta

Não há máximos locais nem mínimos locais.
Pontos de sela: \displaystyle(\sqrt{2},0) e \displaystyle(-\sqrt{2},0), ambos com f=1.

Exercícios relacionados