Resolva os problemas de mínima distância a seguir:
Determine o ponto do plano x-y+z=4 que está mais próximo do ponto (1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede o ponto do plano \,x - y + z = 4 que está mais próximo do ponto P = (1,2,3).
Conteúdo: encontrar a projeção ortogonal de um ponto sobre um plano usando o vetor normal ao plano.

Passo 2

Identificamos o vetor normal ao plano:
\mathbf{n} = (1,\,-1,\;1),
cuja norma é
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}.

Passo 3

A distância assinada de P=(x_0,y_0,z_0) ao plano ax+by+cz=d é
d_s = \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui a=1, b=-1, c=1, d=4 e (x_0,y_0,z_0)=(1,2,3), então
d_s = \frac{1\cdot1 + (-1)\cdot2 + 1\cdot3 - 4}{\sqrt{3}} = \frac{1 - 2 + 3 - 4}{\sqrt{3}} = \frac{-2}{\sqrt{3}}.

Passo 4

O pé da perpendicular Q é dado por
Q = P - d_s\,\frac{\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|}.
Substituindo d_s = -\tfrac{2}{\sqrt{3}} e \tfrac{\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|} = \tfrac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1), vem
Q = (1,2,3) - \Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)\, \tfrac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1) = (1,2,3) + \tfrac{2}{3}(1,-1,1).

Passo 5

Calculando componente a componente:
Q = \Bigl(1 + \tfrac{2}{3},\;2 - \tfrac{2}{3},\;3 + \tfrac{2}{3}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{5}{3},\;\tfrac{4}{3},\;\tfrac{11}{3}\Bigr).

Passo 6

Verificamos que esse Q satisfaz a equação do plano:
\tfrac{5}{3} - \tfrac{4}{3} + \tfrac{11}{3} = \tfrac{12}{3} = 4.
Logo é realmente o ponto mais próximo.

Resposta

O ponto mais próximo é \bigl(\tfrac{5}{3},\,\tfrac{4}{3},\,\tfrac{11}{3}\bigr).

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