Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
restrição:
Passo 1
O enunciado pede para usar multiplicadores de Lagrange a fim de encontrar os extremos da função
sujeita à restrição
O conteúdo necessário é construir o sistema
e depois resolver esse sistema mais a própria restrição.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
O sistema de Lagrange é
Passo 3
Da primeira equação
surgem duas possibilidades:
-
. Então da segunda , impossível pois para todo . -
. Nesse caso a restrição vira
Portanto o único ponto crítico é
O valor de
aí é
Passo 4
Para verificar se é máximo ou mínimo, note que na curva definida por
só é possível ter
Como
cresce estritamente com
, o ponto encontrado dá o máximo de
sob a restrição.
Quanto ao mínimo, observa-se que, ao levar , a restrição força
, e aí
. Ou seja,
não atinge valor mínimo, mas seu ínfimo é
.
Quanto ao mínimo, observa-se que, ao levar
Resposta
O valor máximo é
no ponto
.
Não existe valor mínimo, apenas infimum .
Não existe valor mínimo, apenas infimum