Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=e^{y} ; \quad restrição: x^{2}+y^{3}=16

Passo 1

O enunciado pede para usar multiplicadores de Lagrange a fim de encontrar os extremos da função
f(x,y)=e^{y}
sujeita à restrição
x^{2}+y^{3}=16.
O conteúdo necessário é construir o sistema
\nabla f=\lambda\,\nabla g,\quad g(x,y)=x^{2}+y^{3}-16=0,
e depois resolver esse sistema mais a própria restrição.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f e g:
f_{x}=0,\quad f_{y}=e^{y},
g_{x}=2x,\quad g_{y}=3y^{2}.
O sistema de Lagrange é
0 = \lambda\,2x,
e^{y} = \lambda\,3y^{2},
x^{2}+y^{3}=16.

Passo 3

Da primeira equação 0=2\lambda x surgem duas possibilidades:
  1. \lambda=0. Então da segunda e^{y}=0, impossível pois e^{y}>0 para todo y.
  2. x=0. Nesse caso a restrição vira 0^{2}+y^{3}=16\quad\Longrightarrow\quad y^{3}=16\quad\Longrightarrow\quad y=\sqrt[3]{16}.
Portanto o único ponto crítico é
(x,y)=\bigl(0,\sqrt[3]{16}\bigr).
O valor de f aí é
f\bigl(0,\sqrt[3]{16}\bigr)=e^{\sqrt[3]{16}}.

Passo 4

Para verificar se é máximo ou mínimo, note que na curva definida por x^{2}+y^{3}=16 só é possível ter
y^{3}\le16\quad\Longrightarrow\quad y\le\sqrt[3]{16}.
Como f(x,y)=e^{y} cresce estritamente com y, o ponto encontrado dá o máximo de f sob a restrição.
Quanto ao mínimo, observa-se que, ao levar y\to-\infty, a restrição força x^{2}=16-y^{3}\to+\infty, e aí
\,f(x,y)=e^{y}\to0^{+}. Ou seja, f não atinge valor mínimo, mas seu ínfimo é 0.

Resposta

O valor máximo é
e^{\sqrt[3]{16}}
no ponto \bigl(0,\sqrt[3]{16}\bigr).
Não existe valor mínimo, apenas infimum 0.

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