Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função:
são pontos de sela
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função $ f(x, y) = y \cos x $. Para isso, vamos precisar usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente o estudo de derivadas parciais e a classificação de pontos críticos usando a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Da equação (2), sabemos que $ \cos x = 0 $ quando $ x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é um inteiro.
Passo 3
Agora, substituímos $ x = \frac{\pi}{2} + n\pi $ na equação (1):
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + n\pi\right) = (-1)^n $. Portanto:
Então, os pontos críticos estão em $ \left( \frac{\pi}{2} + n\pi, 0 \right) $.
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando a matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
A matriz Hessiana $ H $ é dada por:
O determinante da Hessiana ($ D $) é:
Substituindo nos pontos críticos $ \left( \frac{\pi}{2} + n\pi, 0 \right) $:
Resposta
Como o determinante $ D = -1 < 0 $, isso indica que todos os pontos críticos $ \left( \frac{\pi}{2} + n\pi, 0 \right) $ são pontos de sela. Portanto, a função $ f(x, y) = y \cos x $ não possui valores máximos ou mínimos locais, apenas pontos de sela nos pontos mencionados.