Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função:
f(x, y)=y cos x R: (π/2+nπ, 0) são pontos de sela

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função $ f(x, y) = y \cos x $. Para isso, vamos precisar usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente o estudo de derivadas parciais e a classificação de pontos críticos usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
x
y
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
fx = partial fpartial x = -y sin x
fy = partial fpartial y = cos x
Da equação (2), sabemos que $ \cos x = 0 $ quando $ x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é um inteiro.

Passo 3

Agora, substituímos $ x = \frac{\pi}{2} + n\pi $ na equação (1):
x = pi2 + npi
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + n\pi\right) = (-1)^n $. Portanto:
- y sin(pi2 + npi) = 0
Então, os pontos críticos estão em $ \left( \frac{\pi}{2} + n\pi, 0 \right) $.

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando a matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -y cos x
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -sin x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 0
A matriz Hessiana $ H $ é dada por:
H
O determinante da Hessiana ($ D $) é:
H = fxx & fxy fxy & fyy
Substituindo nos pontos críticos $ \left( \frac{\pi}{2} + n\pi, 0 \right) $:
D
D = fxx fyy - (fxy)^2
( pi2 + npi, 0 )

Resposta

Como o determinante $ D = -1 < 0 $, isso indica que todos os pontos críticos $ \left( \frac{\pi}{2} + n\pi, 0 \right) $ são pontos de sela. Portanto, a função $ f(x, y) = y \cos x $ não possui valores máximos ou mínimos locais, apenas pontos de sela nos pontos mencionados.

Exercícios relacionados