Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a taxa de variação máxima da função $ f(x, y, z) = \ln(xy) + \ln(yz) + \ln(xz) $ no ponto $ P(1,1,1) $ e a direção em que essa variação acontece. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente de uma função e suas propriedades relacionadas à taxa de variação máxima.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função $ f $. O gradiente $ \nabla f $ é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação da função e sua magnitude representa exatamente essa taxa máxima. Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P(1,1,1) $:
Passo 5
A taxa de variação máxima é a magnitude do gradiente. Calculamos isso usando a fórmula da magnitude do vetor:
Resposta
A taxa de variação máxima de $ f $ no ponto $ P(1,1,1) $ é $ \sqrt{12} $ e ocorre na direção do vetor $ \nabla f = 2\hat{\imath} + 2\hat{\jmath} + 2\hat{k} $.