Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y, z)=ln(xy)+ln(yz)+ln(xz), P(1,1,1) ∇f=2imath+2jmath+2k var máx=raiz12á

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a taxa de variação máxima da função $ f(x, y, z) = \ln(xy) + \ln(yz) + \ln(xz) $ no ponto $ P(1,1,1) $ e a direção em que essa variação acontece. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente de uma função e suas propriedades relacionadas à taxa de variação máxima.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função $ f $. O gradiente $ \nabla f $ é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação da função e sua magnitude representa exatamente essa taxa máxima. Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = yxy + zxz = 1x + 1x = 2x
partial fpartial y = xxy + zyz = 1y + 1y = 2y
partial fpartial z = yyz + xxz = 1z + 1z = 2z
Portanto, o gradiente é:
nabla f = ( 2x, 2y, 2z )

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P(1,1,1) $:
P(1,1,1)

Passo 5

A taxa de variação máxima é a magnitude do gradiente. Calculamos isso usando a fórmula da magnitude do vetor:
| nabla f | = raiz2^2 + 2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 + 4 = raiz12 = 2raiz3

Resposta

A taxa de variação máxima de $ f $ no ponto $ P(1,1,1) $ é $ \sqrt{12} $ e ocorre na direção do vetor $ \nabla f = 2\hat{\imath} + 2\hat{\jmath} + 2\hat{k} $.

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