Use o TFC para calcular o valor exato das integrais definidas: integral0^pi / 3 sen(x) cdot cos ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi/3sin(x),cos^2(x),dx usando o Teorema Fundamental do Cálculo, ou seja, achar uma primitiva da função e depois avaliar nos limites de 0 a pi/3.

Passo 2

Para facilitar a primitiva, fazemos a substituição u=cos(x). Então du=-sin(x),dx, ou seja, sin(x),dx=-du, e cos^2(x)=u^2. A integral fica integralsin(x)cos^2(x),dx= -integral u^2,du.

Passo 3

Agora encontramos a primitiva de -integral u^2,du. Calculamos -integral u^2,du=-tfracu^33+C. Voltando a x, a primitiva geral é -tfraccos^3(x)3+C.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos integral0^pi/3sin(x)cos^2(x),dx=l[-tfraccos^3(x)3r]0^pi/3.

Passo 5

Em x=pi/3 temos cos(pi/3)=1/2, logo -tfrac(1/2)^33=-tfrac124. Em x=0 temos cos(0)=1, logo -tfrac1^33=-tfrac13. Subtraindo esses valores: -tfrac124-(-tfrac13)=-tfrac124+tfrac13=tfrac724.

Resposta

\tfrac{7}{24}

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