Determine os valores máximos e minimos locais e pontos de sela da função
f(x, y)=9-2 x+4 y-x^2-4 y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar um jeito de encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função $ f(x, y) = 9 - 2x + 4y - x^{2} - 4y^{2} $. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise da segunda derivada. Precisamos achar onde as derivadas parciais se anulam (pontos críticos) e então descobrir a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
x
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
-2 - 2x = 0 e 4 - 8y = 0
Resolvendo a primeira equação para $ x $:
x
Resolvendo a segunda equação para $ y $:
-2 - 2x = 0 implies -2x = 2 implies x = -1
Então, o ponto crítico é $ (-1, 0.5) $.

Passo 4

Agora que temos o ponto crítico, precisamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar a Matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas da função.
Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x (-2 - 2x) = -2
partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y (4 - 8y) = -8
partial^2 fpartial x partial y = partialpartial y (-2 - 2x) = 0
Então, a Matriz Hessiana $ H $ é:
H

Passo 5

Para determinar a natureza do ponto crítico, calculamos o determinante da Hessiana ($ D $):
D
Agora, analisamos:
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, então temos um máximo local.
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, então temos um mínimo local.
  • Se $ D < 0 $, então temos um ponto de sela.
  • Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, $ D = 16 > 0 $ e $ f_{xx} = -2 < 0 $, então o ponto crítico $ (-1, 0.5) $ é um máximo local.

Resposta

A função $ f(x, y) = 9 - 2x + 4y - x^{2} - 4y^{2} $ tem um máximo local no ponto $ (-1, 0.5) $. Não há mínimos locais nem pontos de sela.

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