Determine os valores máximos e minimos locais e pontos de sela da função
Passo 1
Beleza, vamos dar um jeito de encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função $ f(x, y) = 9 - 2x + 4y - x^{2} - 4y^{2} $. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise da segunda derivada. Precisamos achar onde as derivadas parciais se anulam (pontos críticos) e então descobrir a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação para $ x $:
Resolvendo a segunda equação para $ y $:
Então, o ponto crítico é $ (-1, 0.5) $.
Passo 4
Agora que temos o ponto crítico, precisamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar a Matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas da função.
Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas:
Então, a Matriz Hessiana $ H $ é:
Passo 5
Para determinar a natureza do ponto crítico, calculamos o determinante da Hessiana ($ D $):
Agora, analisamos:
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, então temos um máximo local.
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, então temos um mínimo local.
- Se $ D < 0 $, então temos um ponto de sela.
- Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, $ D = 16 > 0 $ e $ f_{xx} = -2 < 0 $, então o ponto crítico $ (-1, 0.5) $ é um máximo local.
Resposta
A função $ f(x, y) = 9 - 2x + 4y - x^{2} - 4y^{2} $ tem um máximo local no ponto $ (-1, 0.5) $. Não há mínimos locais nem pontos de sela.