Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y).
f(x, y)=x y+2 x-ln (x^2 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função $ f(x, y) = xy + 2x - \ln\left(x^{2} y\right) $. Isso faz parte do estudo de máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são zero (chamados de pontos críticos) e, depois, usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra fixa.
Para $ f(x, y) = xy + 2x - \ln\left(x^{2} y\right) $:
  • Derivada parcial em relação a $ x $:
    f
    Aqui usamos a regra da derivada do logaritmo e a derivada do termo $ x^2 y $.
  • Derivada parcial em relação a $ y $:
    x
    Similarmente, derivamos em relação a $ y $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde $ f_x = 0 $ e $ f_y = 0 $:
fx = 0
Primeiro, da segunda equação:
fy = 0
Agora, substituímos $ x = \frac{1}{y} $ na primeira equação:
y + 2 - 2x = 0 x - 1y = 0
Então, $ y = 2 $. Substituindo de volta em $ x = \frac{1}{y} $:
x - 1y = 0 implies x = 1y
Portanto, o ponto crítico é $ \left(\frac{1}{2}, 2\right) $.

Passo 4

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esse ponto crítico. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante $ D $:
D
Calculando as segundas derivadas:
  • Segunda derivada em relação a $ x $:
    D = fxxfyy - (fxy)^2
  • Segunda derivada em relação a $ y $:
    x
  • Derivada mista:
    fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2x^2
Agora, calculando $ D $ no ponto $ \left(\frac{1}{2}, 2\right) $:
y
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 1y^2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 1
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, isso significa que o ponto crítico é um mínimo local.

Passo 5

Como encontramos apenas um ponto crítico $ \left(\frac{1}{2}, 2\right) $ que é um mínimo local e não encontramos outros pontos onde as derivadas parciais sejam zero, concluímos que:
  • A função $ f(x, y) $ tem um mínimo local em $ \left(\frac{1}{2}, 2\right) $.
  • Não há máximos locais nem pontos de sela para essa função nesse cenário.

Resposta

A função possui um mínimo local em $ \left(\frac{1}{2},, 2\right) $. Não há máximos locais nem pontos de sela.

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