Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função $ f(x, y) = xy + 2x - \ln\left(x^{2} y\right) $. Isso faz parte do estudo de máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são zero (chamados de pontos críticos) e, depois, usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra fixa.
Para $ f(x, y) = xy + 2x - \ln\left(x^{2} y\right) $:
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Derivada parcial em relação a $ x $:Aqui usamos a regra da derivada do logaritmo e a derivada do termo $ x^2 y $.
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Derivada parcial em relação a $ y $:Similarmente, derivamos em relação a $ y $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde $ f_x = 0 $ e $ f_y = 0 $:
Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos $ x = \frac{1}{y} $ na primeira equação:
Então, $ y = 2 $. Substituindo de volta em $ x = \frac{1}{y} $:
Portanto, o ponto crítico é $ \left(\frac{1}{2}, 2\right) $.
Passo 4
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esse ponto crítico. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante $ D $:
Calculando as segundas derivadas:
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Segunda derivada em relação a $ x $:
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Segunda derivada em relação a $ y $:
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Derivada mista:
Agora, calculando $ D $ no ponto $ \left(\frac{1}{2}, 2\right) $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, isso significa que o ponto crítico é um mínimo local.
Passo 5
Como encontramos apenas um ponto crítico $ \left(\frac{1}{2}, 2\right) $ que é um mínimo local e não encontramos outros pontos onde as derivadas parciais sejam zero, concluímos que:
- A função $ f(x, y) $ tem um mínimo local em $ \left(\frac{1}{2}, 2\right) $.
- Não há máximos locais nem pontos de sela para essa função nesse cenário.
Resposta
A função possui um mínimo local em $ \left(\frac{1}{2},, 2\right) $. Não há máximos locais nem pontos de sela.