Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
Essa questão está no âmbito do cálculo multivariável, especificamente na busca e classificação de pontos críticos de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, determinar onde essas derivadas são iguais a zero (os chamados pontos críticos), e então usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto como máximo, mínimo ou ponto de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, precisamos resolver o sistema:
Passo 4
Analisando a equação $ f_x = 0 $:
Sabemos que $ e^{x} $ nunca é zero para nenhum valor real de $ x $. Portanto, para que $ f_x = 0 $, deve ser que:
O que acontece com o $ y $ quando $ \cos y = 0 $? Isso ocorre quando:
Passo 5
Agora, analisando a equação $ f_y = 0 $:
Já que $ e^{x} $ nunca é zero, precisamos que:
O que ocorre quando:
Passo 6
Observamos que para haver pontos críticos, ambas as condições $ \cos y = 0 $ e $ \sin y = 0 $ devem ser satisfeitas simultaneamente. No entanto, não existem valores de $ y $ que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo, já que $ \cos y = 0 $ implica que $ \sin y = \pm 1 $, e $ \sin y = 0 $ implica que $ \cos y = \pm 1 $.
Passo 7
Como não existem valores de $ y $ que tornem ambas as derivadas parciais iguais a zero ao mesmo tempo, concluímos que a função $ f(x, y) = e^{x} \cos y $ não possui pontos críticos. Ou seja, ela não tem máximos ou mínimos locais, nem pontos de sela.
Resposta
A função $ f(x, y) = e^{x} \cos y $ não possui valores máximos ou mínimos locais, nem pontos de sela.