integral-2^4 integralx^2-6^2 x+2 x cdot y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral-2^4 integralx^2-6^2 x+2 x cdot y , dy , dx. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: integralx^2-6^2 x+2 x cdot y , dy. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante porque estamos integrando em relação a $ y $.

Passo 3

A integral de $ x \cdot y $ em relação a $ y $ é $ \frac{x}{2} y^2 $. Então, substituímos os limites de integração:
x cdot y

Passo 4

Agora, vamos expandir as expressões:
(2x + 2)^2 = 4x^2 + 8x + 4
(x^2 - 6)^2 = x^4 - 12x^2 + 36
Substituindo de volta:
x2 (4x^2 + 8x + 4) - x2 (x^4 - 12x^2 + 36)

Passo 5

Distribuindo o $ \frac{x}{2} $:
x2

Passo 6

Agora, combinamos os termos semelhantes:
- x^52 + (2x^3 + 6x^3) + 4x^2 + (2x - 18x) = -x^52 + 8x^3 + 4x^2 - 16x

Passo 7

Agora, temos a integral simplificada em termos de $ x $:
x

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
- 12 cdot x^66 + 8 cdot x^44 + 4 cdot x^33 - 16 cdot x^22 = -x^612 + 2x^4 + 43x^3 - 8x^2

Passo 9

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de $ x = 4 $ e $ x = -2 $:
Para $ x = 4 $:
x = 4
Calculando:
x = -2
Para $ x = -2 $:
x = 4
Calculando:
- 4^612 + 2 cdot 4^4 + 43 cdot 4^3 - 8 cdot 4^2 = -409612 + 2 cdot 256 + 43 cdot 64 - 8 cdot 16

Resposta

A integral dupla vale 144.

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