Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna:
. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante porque estamos integrando em relação a $ y $.
Passo 3
A integral de $ x \cdot y $ em relação a $ y $ é $ \frac{x}{2} y^2 $. Então, substituímos os limites de integração:
Passo 4
Agora, vamos expandir as expressões:
Substituindo de volta:
Passo 5
Distribuindo o $ \frac{x}{2} $:
Passo 6
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, temos a integral simplificada em termos de $ x $:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de $ x = 4 $ e $ x = -2 $:
Para $ x = 4 $:
Calculando:
Para $ x = -2 $:
Calculando:
Resposta
A integral dupla vale 144.