Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
f(x, y)=x^3 y+12 x^2-8 y

Passo 1

O enunciado pede determinar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função \r
f(x,y)=x^3y+12x^2-8y
Para isso, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo nabla f(x,y)=0 e depois usar o Hessiano para classificar cada ponto.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f: \r
fx = partial fpartial x = 3x^2y + 24x,
fy = partial fpartial y = x^3 - 8

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema \r
3x^2y + 24x = 0, x^3 - 8 = 0 \r
Da segunda equação segue x^3=8, logo x=2. Substituindo em 3x^2y+24x=0 temos \r
3cdot2^2y + 24cdot2 = 12y + 48 = 0 implies y = -4 \r
Portanto o único ponto crítico é (2,-4).

Passo 4

Para classificar esse ponto, calculamos as segundas derivadas: \r
fxx = 6xy + 24, fxy = 3x^2, fyy = 0 \r
No ponto (2,-4) isso vale \r
fxx(2,-4) = 6cdot2cdot(-4)+24 = -24, fxy(2,-4) = 3cdot2^2 = 12, fyy(2,-4) = 0 \r
O determinante do Hessiano é \r
D = fxxfyy - (fxy)^2 = (-24)cdot0 - 12^2 = -144 < 0

Passo 5

Como D<0, o ponto (2,-4) é um ponto de sela.

Resposta

Não há máximos nem mínimos locais. O único ponto crítico (2,-4) é ponto de sela.

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