Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
y^2=e^-3 x tan (raizx)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y^2 = e^-3x,tanl(raizxr)
e pede y' = dydx. O conteúdo é diferenciação implícita e derivada de produto e de função composta.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, usamos que ddx(y^2)=2y,y'. Logo
2y,y' ;=;ddxl[e^-3x,tan(raizx)r]

Passo 3

Para ddxl[e^-3x,tan(raizx)r] aplicamos a regra do produto:
l(e^-3xr)' ,tan(raizx) ;+;e^-3x,l(tan(raizx)r)'
Aqui l(e^-3xr)'=-3e^-3x. E por cadeia
l(tan(raizx)r)' = sec^2(raizx)cdotddx(raizx) = sec^2(raizx)cdot12raizx

Passo 4

Substituindo essas derivadas em (3) obtemos
ddxl[e^-3xtan(raizx)r] = -3e^-3xtan(raizx) + e^-3x,sec^2(raizx)2raizx
Portanto a equação de (2) fica
2y,y' = -3e^-3xtan(raizx) + e^-3x,sec^2(raizx)2raizx

Passo 5

Isolando y', dividimos ambos os lados por 2y:
y' = -3e^-3xtan(raizx) + e^-3x,dfracsec^2(raizx)2raizx2y = e^-3x2yl[-3tan(raizx) +sec^2(raizx)2raizxr]

Resposta

y' = e^-3x2yl[-3tan(raizx) +sec^2(raizx)2raizxr]

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