Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede máximos e mínimos locais e pontos de sela. Note que
é radial, ou seja, depende só de
Definimos a função unidimensional
de modo que
. Para achar os pontos críticos, vamos primeiro achar
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Igualando a zero, obtemos as soluções
Passo 3
Traduzindo em
, os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar usamos o sinal de
:
- Se
, então e , logo cresce de 0 até 1. - Se
, então e , logo decresce para .
Isso implica: - Em
, temos mínimo local, pois para pequeno . - Em
, temos máximo local (não estrito na direção tangencial, mas decrescente na direção radial).
Não aparecem outros pontos críticos, logo não há pontos de sela.
Resposta
O único mínimo local é em
, com valor
Os máximos locais ocorrem em toda a circunferência
com valor
Não há pontos de sela.