Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função:
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{2-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = (x^2 + y^2)\,e^{\,2 - x^2 - y^2}
e pede máximos e mínimos locais e pontos de sela. Note que f é radial, ou seja, depende só de
r = \sqrt{x^2 + y^2}\,.
Definimos a função unidimensional
g(r) = r^2 e^{\,2 - r^2},\quad r\ge0,
de modo que f(x,y)=g\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr). Para achar os pontos críticos, vamos primeiro achar g'(r).

Passo 2

Calculamos a derivada de g:
g'(r) = \frac{d}{dr}\bigl(r^2 e^{2-r^2}\bigr) =2r\,e^{2-r^2} + r^2\,e^{2-r^2}\,(-2r) =2r\,e^{2-r^2}\,(1 - r^2).
Igualando a zero, obtemos as soluções
2r\,e^{2-r^2}\,(1 - r^2) = 0 \;\Longrightarrow\; r=0 \quad\text{ou}\quad r^2=1\,.

Passo 3

Traduzindo em (x,y), os pontos críticos são
r=0 \;\Longrightarrow\; (x,y)=(0,0),
r=1 \;\Longrightarrow\; x^2+y^2=1 \;\text{(círculo de raio 1).}í

Passo 4

Para classificar usamos o sinal de g'(r):
  • Se 0<r<1, então 1-r^2>0 e g'(r)>0, logo g cresce de 0 até 1.
  • Se r>1, então 1-r^2<0 e g'(r)<0, logo g decresce para +\infty.
    Isso implica:
  • Em r=0, temos mínimo local, pois para r>0 pequeno g'(r)>0.
  • Em r=1, temos máximo local (não estrito na direção tangencial, mas decrescente na direção radial).
Não aparecem outros pontos críticos, logo não há pontos de sela.

Resposta

O único mínimo local é em (0,0), com valor
f(0,0)=0.
Os máximos locais ocorrem em toda a circunferência
x^2 + y^2 = 1,
com valor
f(x,y)=e.
Não há pontos de sela.

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