Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função:
f(x, y)=e^{y\left(2-x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=e^{y\,(2 - x^2)}
e, em seguida, classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar derivadas parciais para achar o gradiente, resolver \nabla f=0 e depois aplicar a análise pelo Hessiano.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Seja
E = e^{y\,(2 - x^2)}.
Então
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = E\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y(2-x^2)\bigr) = E\cdot(-2xy) = -2xy\,E,
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = E\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y(2-x^2)\bigr) = E\cdot(2 - x^2) = (2 - x^2)\,E.

Passo 3

Para pontos críticos precisamos de
f_x = 0,\quad f_y = 0.
Como E>0 para todo (x,y),
f_x=0\;\Longrightarrow\;-2xy=0\;\Longrightarrow\;x=0\text{ ou }y=0,
f_y=0\;\Longrightarrow\;2 - x^2=0\;\Longrightarrow\;x=\pm\sqrt{2}.
A única combinação que satisfaz ambas é y=0 e x=\pm\sqrt{2}.
Logo, há dois pontos críticos:
(\sqrt{2},0)\quad\text{e}\quad(-\sqrt{2},0).

Passo 4

Agora vamos ao Hessiano H. As segundas derivadas são
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(-2xy\,E) = E(-2y + 4x^2y^2),
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl((2-x^2)E\bigr) = (2-x^2)^2\,E,
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(-2xy\,E) = -2x\,E \;-\;2xy\,(2 - x^2)\,E.

Passo 5

Avaliamo o Hessiano nos pontos críticos. Em (x,y)=(\pm\sqrt{2},0) temos E=1, y=0 e 2-x^2=0. Logo
f_{xx}=0,\quad f_{yy}=0,
f_{xy}\bigl(\pm\sqrt{2},0\bigr)=-2x\quad\Longrightarrow\quad f_{xy}(\sqrt2,0)=-2\sqrt2,\\ f_{xy}(-\sqrt2,0)=2\sqrt2.
O discriminante do Hessiano é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 0\cdot 0 - (f_{xy})^2 < 0.
Como D<0, cada ponto é um ponto de sela.

Resposta

Não há máximos nem mínimos locais. Os únicos pontos críticos são
(\sqrt{2},0) e (-\sqrt{2},0), ambos pontos de sela.

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