Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e, em seguida, classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar derivadas parciais para achar o gradiente, resolver
e depois aplicar a análise pelo Hessiano.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
. Seja
Então
Passo 3
Para pontos críticos precisamos de
Como
para todo
,
A única combinação que satisfaz ambas é
e
.
Logo, há dois pontos críticos:
Logo, há dois pontos críticos:
Passo 4
Agora vamos ao Hessiano
. As segundas derivadas são
Passo 5
Avaliamo o Hessiano nos pontos críticos. Em
temos
,
e
. Logo
O discriminante do Hessiano é
Como
, cada ponto é um ponto de sela.
Resposta
Não há máximos nem mínimos locais. Os únicos pontos críticos são
e
, ambos pontos de sela.