Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso usaremos derivadas parciais para achar os pontos críticos e, em seguida, a matriz Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Para pontos críticos, impomos
e
. Como
para todo
, obtemos
Logo, há dois pontos críticos:
e
.
Passo 3
Agora obtemos as segundas derivadas para formar a matriz Hessiana
:
Assim,
]
Passo 4
Para cada ponto crítico, avaliamos
e o sinal de
:
Como
,
é ponto de sela.
Além disso
, logo
é máximo local.
Não há nenhum ponto onde
e
, portanto não existem mínimos locais.
Passo 5
Podemos ainda calcular o valor da função no máximo local:
E descrever qualitativamente o gráfico: trata-se de uma superfície com curvatura tipo sela no entorno de
e um “pico” centrado em
, pois ali a exponencial pesa no crescimento vertical.
Resposta
Ponto de sela em
.
Máximo local em com valor
.
Não existem mínimos locais.
Máximo local em
Não existem mínimos locais.