Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=e^y(y^2-x^2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=e^yl(y^2-x^2r)
e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso usaremos derivadas parciais para achar os pontos críticos e, em seguida, a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx(x,y)=partialpartial xl[e^y(y^2 - x^2)r] =-2x,e^y,
fy(x,y)=partialpartial yl[e^y(y^2 - x^2)r] =e^y(y^2 - x^2)+e^y(2y) =e^yl(y^2+2y - x^2r)
Para pontos críticos, impomos fx=0 e fy=0. Como e^y>0 para todo y, obtemos
-2x,e^y=0 Rightarrow x=0,
y^2+2y - x^2=0 Rightarrow y^2+2y=0(pois x=0) Rightarrow y=0 ou y=-2
Logo, há dois pontos críticos:
(0,0) e (0,-2).

Passo 3

Agora obtemos as segundas derivadas para formar a matriz Hessiana H:
fxx(x,y)=partialpartial x(-2x,e^y)=-2,e^y,
fxy(x,y)=partialpartial y(-2x,e^y)=-2x,e^y,
fyy(x,y) =partialpartial yl[e^y(y^2+2y - x^2)r] =e^y(y^2+2y - x^2)+e^y(2y+2) =e^yl(y^2+4y+2 - x^2r)
Assim,
H(x,y)= fxx & fxy[6pt] fxy & fyy = -2,e^y & -2x,e^y[4pt] -2x,e^y & e^y(y^2+4y+2 - x^2)
]

Passo 4

Para cada ponto crítico, avaliamos
De<a = fxx,fyy - (fxy)^2 e o sinal de fxx:
1. Em (0,0):
fxx=-2, fxy=0, fyy=2,
De<a=(-2)cdot2 - 0= -4<0
Como De<a<0, (0,0) é ponto de sela.
2. Em (0,-2):
fxx=-2e^-2, fxy=0, fyy=-2e^-2,
De<a =(-2e^-2)(-2e^-2)-0=4e^-4>0
Além disso fxx=-2e^-2<0, logo (0,-2) é máximo local.
Não há nenhum ponto onde De<a>0 e fxx>0, portanto não existem mínimos locais.

Passo 5

Podemos ainda calcular o valor da função no máximo local:
f(0,-2)=e^-2l[(-2)^2-0r]=4,e^-2
E descrever qualitativamente o gráfico: trata-se de uma superfície com curvatura tipo sela no entorno de (0,0) e um “pico” centrado em (0,-2), pois ali a exponencial pesa no crescimento vertical.

Resposta

Ponto de sela em (0,0).
Máximo local em l(0,-2r) com valor f(0,-2)=4e^-2.
Não existem mínimos locais.

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