Problema 06

Júlia escreveu um número de dois algarismos. Artur inseriu um zero entre os dois algarismos desse número, formando um novo número de três algarismos.
Surpreendentemente, o novo número é exatamente igual a nove vezes o número original.
Qual foi o número escrito por Júlia?
A 36
(B) 40
C 45
(D 54
(C 90

Passo 1

O enunciado diz que Júlia escreveu um número de dois algarismos e que Artur inseriu um zero entre esses algarismos, obtendo um número de três algarismos que é igual a nove vezes o número original. O conteúdo é modelagem de número em função dos dígitos e resolução de uma equação simples.

Passo 2

Sejam A o algarismo das dezenas e B o algarismo das unidades do número original.
O número original vale
10A + B,
e o novo número, com o zero inserido entre A e B, vale
100A + B

Passo 3

Pela informação do problema, o novo número é nove vezes o original, ou seja,
100A + B = 9l(10A + Br)
Simplificando,
100A + B = 90A + 9B Longrightarrow 10A = 8B Longrightarrow 5A = 4B

Passo 4

Da relação 5A = 4B segue que existem inteiro k tal que
A = 4k, B = 5k
Como A e B são dígitos ( 1<= A<=9, 0<= B<=9) e Aneq0, o único k possível é k=1. Logo
A = 4, B = 5,
e o número original é 45.

Passo 5

Verificando: 9times45 = 405, que é exatamente o número formado ao inserir zero entre 4 e 5. Entre as alternativas, corresponde a 45.

Resposta

45

Exercícios relacionados