Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado pede os extremos locais e pontos de sela de
. Para isso, vamos calcular o gradiente, encontrar os pontos críticos (onde
) e usar o teste da matriz Hessiana (segundas derivadas) para classificar cada ponto.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais
Igualando a zero:
Passo 3
As soluções são
,
e
. Usando
, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Calcular as segundas derivadas
A determinante da Hessiana é
Passo 5
Classificação usando o teste da Hessiana:
em :
e
;→ ponto de sela;
em :
e
;→ mínimo local;
em :
e
;→ mínimo local.
em
em
em
Passo 6
Calcular os valores de
nos mínimos:
Resposta
Os pontos de sela são
.
Os mínimos locais são com
e
com
.
Não há máximos locais.
Os mínimos locais são
Não há máximos locais.