Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=2 x^2-8 x y+y^4-4 y^3

Passo 1

O enunciado pede os extremos locais e pontos de sela de f(x,y)=2x^2-8xy+y^4-4y^3. Para isso, vamos calcular o gradiente, encontrar os pontos críticos (onde nabla f=0) e usar o teste da matriz Hessiana (segundas derivadas) para classificar cada ponto.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais
partial fpartial x=4x-8y, partial fpartial y=-8x+4y^3-12y^2
Igualando a zero:
4x-8y=0;Rightarrow;x=2y,
-8(2y)+4y^3-12y^2=4y(y^2-3y-4)=4y(y-4)(y+1)=0

Passo 3

As soluções são y=0, y=4 e y=-1. Usando x=2y, os pontos críticos são
(0,0), (8,4) e (-2,-1).

Passo 4

Calcular as segundas derivadas
fxx=4, fyy=12y^2-24y, fxy=-8
A determinante da Hessiana é
H=fxxfyy-fxy^2=4(12y^2-24y)-64=48y^2-96y-64

Passo 5

Classificação usando o teste da Hessiana:
em (0,0): fxx=4>0 e H=-64<0;→ ponto de sela;
em (8,4): fxx=4>0 e H=320>0;→ mínimo local;
em (-2,-1): fxx=4>0 e H=80>0;→ mínimo local.

Passo 6

Calcular os valores de f nos mínimos:
f(8,4)=2cdot8^2-8cdot8cdot4+4^4-4cdot4^3=-128, f(-2,-1)=2cdot(-2)^2-8cdot(-2)cdot(-1)+(-1)^4-4cdot(-1)^3=-3

Resposta

Os pontos de sela são (0,0).
Os mínimos locais são (8,4) com f(8,4)=-128 e (-2,-1) com f(-2,-1)=-3.
Não há máximos locais.

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