Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os pontos críticos de
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso vamos calcular o gradiente, igualar a zero e usar o Hessiano para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Passo 3
Para encontrar pontos críticos resolvemos o sistema
Da segunda equação vem , logo . Substituindo na primeira obtenmos , daí . O único ponto crítico é .
Passo 4
Para classificar usamos o Hessiano de :
Em isso vale
cujo determinante é
det H(0,0)=0cdot0 - 1cdot1 = -1 <0
Como o determinante do Hessiano é negativo, o ponto (0,0) é um ponto de sela.]
Passo 5
Não há nenhum ponto onde o Hessiano indique máximo ou mínimo local, apenas o ponto de sela em (0,0).
Resposta
A função não possui máximos nem mínimos locais e tem um único ponto de sela em (0,0).