Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=y(e^x-1)

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos críticos de
f(x,y)=yl(e^x-1r)
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso vamos calcular o gradiente, igualar a zero e usar o Hessiano para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = y,e^x, partial fpartial y = e^x-1

Passo 3

Para encontrar pontos críticos resolvemos o sistema
y,e^x=0, e^x-1=0
Da segunda equação vem e^x=1, logo x=0. Substituindo na primeira obten­mos ycdot1=0, daí y=0. O único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Para classificar (0,0) usamos o Hessiano de f:
H(x,y) = fxx & fxy[6pt] fyx & fyy = y,e^x & e^x[4pt] e^x & 0
Em (0,0) isso vale
H(0,0) = 0 & 1 1 & 0 ,
cujo determinante é
det H(0,0)=0cdot0 - 1cdot1 = -1 <0
Como o determinante do Hessiano é negativo, o ponto (0,0) é um ponto de sela.]

Passo 5

Não há nenhum ponto onde o Hessiano indique máximo ou mínimo local, apenas o ponto de sela em (0,0).

Resposta

A função não possui máximos nem mínimos locais e tem um único ponto de sela em (0,0).

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