Utilize as Equações 6 para determinar partial z / partial x e partial z / partial y.
e^z=x y z

Passo 1

O enunciado pede para calcular partial zpartial x e partial zpartial y a partir da equação implícita
e^z = x,y,z
O conteúdo envolvido é diferenciação implícita: pelas Equações 6 (teorema da função implícita) temos, se F(x,y,z)=0,
partial zpartial x = -FxFz, partial zpartial y = -FyFz

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z) = e^z - x,y,z,
de modo que a equação dada é equivalente a
F(x,y,z)=0

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx = partialpartial x(e^z - x,y,z) = -y,z,
Fy = partialpartial y(e^z - x,y,z) = -x,z,
Fz = partialpartial z(e^z - x,y,z) = e^z - x,y

Passo 4

Pelas fórmulas da função implícita, obtemos
partial zpartial x = -FxFz, partial zpartial y = -FyFz

Passo 5

Substituindo Fx, Fy e Fz e simplificando:
partial zpartial x = --y,ze^z - x,y = y,ze^z - x,y,
partial zpartial y = --x,ze^z - x,y = x,ze^z - x,y

Resposta

partial zpartial x = y,ze^z - x,y, partial zpartial y = x,ze^z - x,y

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