Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x^{2}-3 y^{2}-9 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais (máximos e mínimos) e pontos de sela da função
f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3x^{2}-3y^{2}-9x.
O método envolve calcular as derivadas parciais para achar os pontos críticos e usar o teste da Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1),
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 6y = 3y(y-2).
Os pontos críticos satisfazem f_x=0 e f_y=0, ou seja
x=3\\ \text{ou}\\ x=-1,\quad y=0\\ \text{ou}\\ y=2.
Logo, os pontos críticos são
(3,0), (3,2), (-1,0) e (-1,2).

Passo 3

Construir a matriz Hessiana H e seu determinante D:
f_{xx} = 6x - 6,\quad f_{yy} = 6y - 6,\quad f_{xy}=0,
D(x,y) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (6x-6)(6y-6).

Passo 4

Avaliar f_{xx}, f_{yy} e D em cada ponto para classificar:
( 3,0):
f_{xx}=12,\quad f_{yy}=-6,\quad D=-72<0
\to ponto de sela.
( 3,2):
f_{xx}=12,\quad f_{yy}=6,\quad D=72>0,\quad f_{xx}>0
\to mínimo local.
(- 1,0):
f_{xx}=-12,\quad f_{yy}=-6,\quad D=72>0,\quad f_{xx}<0
\to máximo local.
(- 1,2):
f_{xx}=-12,\quad f_{yy}=6,\quad D=-72<0
\to ponto de sela.

Passo 5

Calcular os valores de f nos pontos que são extremos:
f(3,2)=3^3+2^3-3\cdot3^2-3\cdot2^2-9\cdot3=27+8-27-12-27=-31,
f(-1,0)=(-1)^3+0^3-3(-1)^2-3\cdot0^2-9(-1)=-1-3+9=5.

Resposta

Local máximo em (-1,0) com f(-1,0)=5.\nLocal mínimo em (3,2) com f(3,2)=-31.\nPontos de sela em (3,0) e (-1,2).\nPara visualizar, recomenda-se plotar f no domínio -2\le x\le4, -1\le y\le3, escolhendo um ponto de vista oblíquo para destacar cristas e vales.

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