Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=\left(6 x-x^{2}\right)\left(4 y-y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y) = (6x - x^2)\,(4y - y^2)
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e o teste da Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Defina
g(x) = 6x - x^2,\quad h(y) = 4y - y^2,
assim f(x,y) = g(x)\,h(y). As derivadas parciais são
f_x = g'(x)\,h(y) = (6 - 2x)\,h(y),
f_y = g(x)\,h'(y) = g(x)\,(4 - 2y).

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem f_x=0 e f_y=0, ou seja
6 - 2x = 0 \quad\text{ou}\quad h(y)=0,
4 - 2y = 0 \quad\text{ou}\quad g(x)=0.
Da combinação das duas equações vem:
  • 6 - 2x=0 e 4 - 2y=0 dão o ponto (x,y)=(3,2).
  • g(x)=0 implica x=0 ou 6, e h(y)=0 implica y=0 ou 4, gerando os pontos (0,0), (0,4), (6,0) e (6,4).

Passo 4

Calculemos as segundas derivadas e a Hessiana:
f_{xx} = g''(x)\,h(y) = -2\,h(y),
f_{yy} = g(x)\,h''(y) = -2\,g(x),
f_{xy} = g'(x)\,h'(y) = (6 - 2x)\,(4 - 2y).
O determinante da Hessiana é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2.

Passo 5

No ponto (3,2) temos g(3)=9, h(2)=4, então
f_{xx}=-2\cdot4=-8,\quad f_{yy}=-2\cdot9=-18,\quad f_{xy}=0,
D = (-8)\,(-18) - 0 = 144 > 0,\quad f_{xx}<0,
logo é um máximo local e
f(3,2)=g(3)\,h(2)=9\cdot4=36.
Nos pontos (0,0), (0,4), (6,0) e (6,4) verifica-se
f_{xx}=0,\quad f_{yy}=0,\quad |f_{xy}|=24,
D = 0 - 24^2 = -576 < 0,
caracterizando pontos de sela.

Resposta

O único extremo local é um máximo em (3,2) com f(3,2)=36.
Não há mínimo local.
Os pontos de sela são (0,0), (0,4), (6,0) e (6,4).

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