Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e o teste da Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Defina
assim
. As derivadas parciais são
Passo 3
Os pontos críticos satisfazem
e
, ou seja
Da combinação das duas equações vem:
-
e dão o ponto . -
implica ou , e implica ou , gerando os pontos , , e .
Passo 4
Calculemos as segundas derivadas e a Hessiana:
O determinante da Hessiana é
Passo 5
No ponto
temos
,
, então
logo é um máximo local e
Nos pontos
,
,
e
verifica-se
caracterizando pontos de sela.
Resposta
O único extremo local é um máximo em
com
.
Não há mínimo local.
Os pontos de sela são ,
,
e
.
Não há mínimo local.
Os pontos de sela são