Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=x^{2}+y^{4}+2 x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais e pontos de sela da função
f(x,y)=x^{2}+y^{4}+2xy
Isso envolve conceitos de cálculo em várias variáveis: gradiente para achar pontos críticos e matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
f_{x}(x,y)=2x+2y,\quad f_{y}(x,y)=4y^{3}+2x
Para pontos críticos:
2x+2y=0\implies x=-y,
4y^{3}+2x=0\implies x=-2y^{3}.
Igualando as duas expressões de x:
-y=-2y^{3}\implies y(2y^{2}-1)=0\implies y=0\text{ ou }y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo os pontos críticos são
(0,0),\quad\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr),\quad\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 3

Montamos a matriz Hessiana e seu determinante em cada ponto:
f_{xx}=2,\quad f_{yy}=12y^{2},\quad f_{xy}=2.
O discriminante é
D = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=2\cdot(12y^{2})-2^{2}=24y^{2}-4.
Em (0,0): D=-4<0, caracteriza ponto de sela.
Em y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}: y^{2}=\tfrac12 então
D=24\cdot\tfrac12-4=8>0,\quad f_{xx}=2>0,
portanto são mínimos locais.

Passo 4

Calculamos o valor de f nos mínimos locais:
f\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) =\tfrac12+\tfrac14-1=-\tfrac14,
f\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) =\tfrac12+\tfrac14-1=-\tfrac14.

Passo 5

Classificação final:
  • Ponto de sela em (0,0).
  • Dois mínimos locais em \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) e \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr), com valor f=-\tfrac14.
  • Não há máximos locais.

Passo 6

Para visualizar no gráfico 3D, escolha um domínio como x,y\in[-2,2] e use uma vista com azimute de 45^\circ e elevação de 30^\circ. Isso evidenciará o vale duplo nos mínimos e a crista de sela em (0,0).

Resposta

Ponto de sela: (0,0)
Mínimos locais: \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) e \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr), ambos com f=-\tfrac14
Não há máximos locais.

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