Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais e pontos de sela da função
Isso envolve conceitos de cálculo em várias variáveis: gradiente para achar pontos críticos e matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Para pontos críticos:
Igualando as duas expressões de
:
Logo os pontos críticos são
Passo 3
Montamos a matriz Hessiana e seu determinante em cada ponto:
O discriminante é
Em
:
, caracteriza ponto de sela.
Em :
então
Em
portanto são mínimos locais.
Passo 4
Calculamos o valor de
nos mínimos locais:
Passo 5
Classificação final:
- Ponto de sela em
. - Dois mínimos locais em
e , com valor . - Não há máximos locais.
Passo 6
Para visualizar no gráfico 3D, escolha um domínio como
e use uma vista com azimute de
e elevação de
. Isso evidenciará o vale duplo nos mínimos e a crista de sela em
.
Resposta
Ponto de sela:
Mínimos locais: e
, ambos com
Não há máximos locais.
Mínimos locais:
Não há máximos locais.