Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=\sin (x) \cos (y), \quad-\pi<x<\pi, \quad-\pi<y<\pi

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de
f(x,y)=\sin(x)\cos(y),
no domínio aberto -\pi<x<\pi,\;- \pi<y<\pi, e sua classificação em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso vamos:
  1. Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
  2. Resolver \nabla f=0 para encontrar os pontos críticos.
  3. Usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

As derivadas parciais são
f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(x)\cos(y),
f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=-\sin(x)\sin(y).
Igualando a zero, obtemos o sistema
\cos(x)\cos(y)=0,
\sin(x)\sin(y)=0.

Passo 3

Para \cos(x)\cos(y)=0 ou \sin(x)\sin(y)=0 temos as soluções no domínio aberto:
  1. \cos(x)=0 e \sin(x)\sin(y)=0:
    \cos(x)=0\implies x=\pm\frac{\pi}{2}.
    Em cada caso \sin(x)=\pm1, então \sin(y)=0\implies y=0.
    Pontos:
    \bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr) e \bigl(-\tfrac{\pi}{2},0\bigr).
  2. \cos(y)=0 e \sin(x)\sin(y)=0:
    \cos(y)=0\implies y=\pm\frac{\pi}{2}.
    Em cada caso \sin(y)=\pm1, então \sin(x)=0\implies x=0.
    Pontos:
    \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) e \bigl(0,-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Não há outras combinações no domínio aberto. Logo os críticos são esses quatro.

Passo 4

Calculamos as derivadas de segunda ordem para formar a Hessiana:
f_{xx}=-\sin(x)\cos(y),\quad f_{yy}=-\sin(x)\cos(y),\quad f_{xy}=-\cos(x)\sin(y).
A matriz Hessiana é
H(x,y)= \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}.

Passo 5

Em cada ponto crítico avaliamos H:
  1. Em \bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr):
    \sin(x)=1,\cos(y)=1,\cos(x)=0,\sin(y)=0.
    f_{xx}=-1,\;f_{yy}=-1,\;f_{xy}=0;
    \det H=1>0 e f_{xx}<0 \implies máximo local.
  2. Em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},0\bigr):
    \sin(x)=-1,\cos(y)=1,\cos(x)=0,\sin(y)=0.
    f_{xx}=1,\;f_{yy}=1,\;f_{xy}=0;
    \det H=1>0 e f_{xx}>0 \implies mínimo local.
  3. Em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr):
    \sin(x)=0,\cos(y)=0,\cos(x)=1,\sin(y)=1.
    f_{xx}=0,\;f_{yy}=0,\;f_{xy}=-1;
    \det H=-1<0 \implies ponto de sela.
  4. Em \bigl(0,-\tfrac{\pi}{2}\bigr):
    \sin(x)=0,\cos(y)=0,\cos(x)=1,\sin(y)=-1.
    f_{xx}=0,\;f_{yy}=0,\;f_{xy}=1;
    \det H=-1<0 \implies ponto de sela.

Resposta

Máximo local em
\bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr) com f=1.
Mínimo local em
\bigl(-\tfrac{\pi}{2},0\bigr) com f=-1.
Pontos de sela em
\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) e \bigl(0,-\tfrac{\pi}{2}\bigr), ambos com f=0.

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