Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado pede os pontos críticos de
no domínio aberto
, e sua classificação em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso vamos:
- Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
- Resolver
para encontrar os pontos críticos. - Usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
As derivadas parciais são
Igualando a zero, obtemos o sistema
Passo 3
Para
ou
temos as soluções no domínio aberto:
-
e :
.
Em cada caso, então .
Pontos:
e . -
e :
.
Em cada caso, então .
Pontos:
e .
Não há outras combinações no domínio aberto. Logo os críticos são esses quatro.
Passo 4
Calculamos as derivadas de segunda ordem para formar a Hessiana:
A matriz Hessiana é
Passo 5
Em cada ponto crítico avaliamos
:
-
Em
:
. e máximo local. -
Em
:
. e mínimo local. -
Em
:
. ponto de sela. -
Em
:
. ponto de sela.
Resposta
Máximo local em
com
.
Mínimo local em
com
.
Pontos de sela em
e
, ambos com
.
Mínimo local em
Pontos de sela em