Determine a massa do fio \gamma, cuja densidade é f(x, y)=x y e \gamma é dada pela curva de y=x^{2} de A(0,0) a B(1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa do fio \gamma de densidade f(x,y)=xy, onde \gamma é a curva definida por y=x^2 de A(0,0) a B(1,1). O conteúdo é integral de linha de campo escalar, e vamos usar uma parametrização seguida de m=\int_\gamma f\,ds.

Passo 2

Parametrizamos \gamma por
x(t)=t,\quad y(t)=t^2,\quad 0\le t\le1.
Nesse caso
f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=t\cdot t^2=t^3
e
ds=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt =\sqrt{1+(2t)^2}\,dt =\sqrt{1+4t^2}\,dt.

Passo 3

A massa é
m=\int_{0}^{1}t^3\sqrt{1+4t^2}\,dt.
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
u=1+4t^2,\quad du=8t\,dt\quad\Longrightarrow\quad t^2=\frac{u-1}{4},\quad t^3\,dt=t^2\,(t\,dt)=\frac{u-1}{4}\,\frac{du}{8}=\frac{u-1}{32}\,du.

Passo 4

Com isso
m =\int_{u(0)=1}^{u(1)=5}\frac{u-1}{32}\,u^{1/2}\,du =\frac{1}{32}\int_{1}^{5}\bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)\,du.
As primitivas são
\int u^{3/2}du=\frac{2}{5}u^{5/2},\qquad \int u^{1/2}du=\frac{2}{3}u^{3/2},
logo
m =\frac{1}{32}\Bigl[\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{1}^{5} =\frac{1}{16}\Bigl[\frac{u^{5/2}}{5}-\frac{u^{3/2}}{3}\Bigr]_{1}^{5}.
Em u=5 temos 5^{5/2}=25\sqrt{5} e 5^{3/2}=5\sqrt{5}, e em u=1 ambos valem 1. Então
\Bigl[\frac{u^{5/2}}{5}-\frac{u^{3/2}}{3}\Bigr]_{1}^{5} =\Bigl(\frac{25\sqrt{5}}{5}-\frac{5\sqrt{5}}{3}\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\Bigr) =\frac{10\sqrt{5}}{3}+\frac{2}{15} =\frac{2+50\sqrt{5}}{15}.
Multiplicando por 1/16
m=\frac{2+50\sqrt{5}}{240}=\frac{1+25\sqrt{5}}{120}.

Resposta

\frac{1+25\sqrt{5}}{120}

Exercícios relacionados