Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficas tridimensionais no computador, trace o gráfico da função com um domínio e um ponto de vista que mostrem o seus aspectos importantes
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e então classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso precisamos usar derivadas parciais (gradiente) para achar os pontos críticos e a matriz Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
:
Para pontos críticos, resolvemos
Da segunda equação vem
. A primeira pode ser fatorada:
Logo, os pontos críticos são
Passo 3
Agora formamos a Hessiana
:
O discriminante para classificação é
Passo 4
Classificamos em cada ponto:
- Em
:
Como
, trata-se de ponto de sela.
- Em
:
Como
e
, são mínimos locais.
Seus valores são
Seus valores são
Não há pontos com
e
, portanto não há máximos locais.
Passo 5
Para enxergar melhor a topologia de
, podemos plotar em computador tomando, por exemplo,
e usando um comando em Python/Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from \(mpl_toolkits\).mplot3d import Axes3D
x = np.linspace(-1,1,200)
y = np.linspace(-1,3,200)
X, Y = np.meshgrid(x,y)
Z \(=2\)*X**\(4+\) Y**2 - X**2 - 2*Y
fig = plt.figure()
ax = fig.\(add_subplot\)(111, projection='3d')
ax.\(plot_surface\)(X, Y, Z, cmap='viridis', edgecolor='none')
ax.\(view_init\)(elev\(=30\), azim=-60)
plt.show()
Esse gráfico mostra claramente dois “poços” em
e uma crista de sela em
.
Resposta
Ponto de sela:
com
.
Mínimos locais: e
com
.
Não há máximos locais.
Mínimos locais:
Não há máximos locais.