Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficas tridimensionais no computador, trace o gráfico da função com um domínio e um ponto de vista que mostrem o seus aspectos importantes
f(x, y)=2 x^{4}+y^{2}-x^{2}-2 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=2x^{4}+y^{2}-x^{2}-2y
e então classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso precisamos usar derivadas parciais (gradiente) para achar os pontos críticos e a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=8x^{3}-2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=2y-2.
Para pontos críticos, resolvemos
8x^{3}-2x=0, \quad 2y-2=0.
Da segunda equação vem y=1. A primeira pode ser fatorada:
2x\,(4x^{2}-1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0 \quad\text{ou}\quad 4x^{2}-1=0\;\Longrightarrow\;x=\pm\tfrac12.
Logo, os pontos críticos são
(0,1),\quad\bigl(\tfrac12,1\bigr),\quad\bigl(-\tfrac12,1\bigr).

Passo 3

Agora formamos a Hessiana \mathrm{H}f:
f_{xx}=24x^{2}-2, \quad f_{yy}=2, \quad f_{xy}=f_{yx}=0.
O discriminante para classificação é
D = f_{xx}\,f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2} = (24x^{2}-2)\cdot2.

Passo 4

Classificamos em cada ponto:
  1. Em (0,1):
f_{xx}(0,1)=-2<0, \quad D(0,1)=(-2)\cdot2=-4<0.
Como D<0, trata-se de ponto de sela.
  1. Em \bigl(\pm\tfrac12,1\bigr):
f_{xx}(\pm\tfrac12,1)=24\bigl(\tfrac14\bigr)-2=6-2=4>0, \quad D(\pm\tfrac12,1)=4\cdot2=8>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, são mínimos locais.
Seus valores são
f\Bigl(\pm\tfrac12,1\Bigr) =2\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{4}+1^{2}-\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}-2\cdot1 =\tfrac18+1-\tfrac14-2 =-\tfrac{9}{8}.
Não há pontos com f_{xx}<0 e D>0, portanto não há máximos locais.

Passo 5

Para enxergar melhor a topologia de f, podemos plotar em computador tomando, por exemplo,
x\in[-1,1],\quad y\in[-1,3]
e usando um comando em Python/Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from \(mpl_toolkits\).mplot3d import Axes3D

x = np.linspace(-1,1,200)
y = np.linspace(-1,3,200)
X, Y = np.meshgrid(x,y)
Z \(=2\)*X**\(4+\) Y**2 - X**2 - 2*Y

fig = plt.figure()
ax = fig.\(add_subplot\)(111, projection='3d')
ax.\(plot_surface\)(X, Y, Z, cmap='viridis', edgecolor='none')
ax.\(view_init\)(elev\(=30\), azim=-60)
plt.show()
Esse gráfico mostra claramente dois “poços” em \bigl(\pm\tfrac12,1\bigr) e uma crista de sela em (0,1).

Resposta

Ponto de sela: (0,1) com f(0,1)=-1.
Mínimos locais: \bigl(\tfrac12,1\bigr) e \bigl(-\tfrac12,1\bigr) com f=-\tfrac{9}{8}.
Não há máximos locais.

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