Ache o vetor gradiente das seguintes funções no ponto P.
f(x, y)=\ln \sqrt{x^{2}++y^{2}}, \quad P=(2,3)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de
f(x,y)=\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}
no ponto P=(2,3). Aqui vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão usando propriedades de logaritmo e raiz. Tem-se
f(x,y)=\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\tfrac12\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de f.
Para \partial f/\partial x aplicamos \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac12\ln(u)\bigr)=\tfrac1{2u}\,u' com u=x^2+y^2:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2\,(x^{2}+y^{2})}\cdot 2x =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}
De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 4

Basta agora avaliar essas derivadas no ponto P=(2,3).
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(2,3)}=\frac{2}{2^{2}+3^{2}}=\frac{2}{13}
\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(2,3)}=\frac{3}{2^{2}+3^{2}}=\frac{3}{13}

Resposta

\nabla f(2,3)=\Bigl(\tfrac{2}{13},\;\tfrac{3}{13}\Bigr)

Exercícios relacionados