Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficas tridimensionais no computador, trace o gráfico da função com um domínio e um ponto de vista que mostrem o seus aspectos importantes
f(x, y)=4-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de máximo local, mínimo local e sela da função
f(x,y)=4 - x^2 - y^2,
usando cálculo de derivadas parciais e classificação pela matriz Hessiana.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = -2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -2y.
Para encontrar pontos críticos, igualamos ambas a zero, obtendo
-2x=0,\;-2y=0 \quad\Longrightarrow\quad (x,y)=(0,0).

Passo 3

Monte a matriz Hessiana e avalie-a em (0,0):
H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0\\\\ 0 & -2 \end{pmatrix}.
Os autovalores de H são -2 e -2, ambos negativos, logo H é negativa definida.

Passo 4

Como H é negativa definida em (0,0), esse ponto é máximo local. O valor da função ali é
f(0,0)=4.
Não surgem outros pontos críticos, portanto não há mínimos locais nem pontos de sela.

Passo 5

O gráfico de f é um paraboloide circular invertido com ápice em (0,0,4). Para visualizar bem, escolha um domínio como -3\le x,y\le3 e uma vista isométrica (por exemplo, elevação de 45^\circ e azimute de 45^\circ): você verá um “chapéu” que decresce igualmente em todas as direções a partir de (0,0,4).

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é um máximo local com valor 4.
Não existem mínimos locais nem pontos de sela.

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