Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficas tridimensionais no computador, trace o gráfico da função com um domínio e um ponto de vista que mostrem o seus aspectos importantes f(x, y)=4-x^{2}-y^{2}
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos de máximo local, mínimo local e sela da função
f(x,y)=4 - x^2 - y^2,
usando cálculo de derivadas parciais e classificação pela matriz Hessiana.
Os autovalores de H são -2 e -2, ambos negativos, logo H é negativa definida.
Passo 4
Como H é negativa definida em (0,0), esse ponto é máximo local. O valor da função ali é
f(0,0)=4.
Não surgem outros pontos críticos, portanto não há mínimos locais nem pontos de sela.
Passo 5
O gráfico de f é um paraboloide circular invertido com ápice em (0,0,4). Para visualizar bem, escolha um domínio como -3\le x,y\le3 e uma vista isométrica (por exemplo, elevação de 45^\circ e azimute de 45^\circ): você verá um “chapéu” que decresce igualmente em todas as direções a partir de (0,0,4).
Resposta
O único ponto crítico é (0,0), que é um máximo local com valor 4.
Não existem mínimos locais nem pontos de sela.